Упр.591 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin2x = -1;
3) корень 2 sin x/3 = -1;
4)2sinx/2 = корень 3;
5) sin(x+3пи/4)= 0;
6)sin(2x+пи/2)=0.

1. $$\sin 3x=1$$

   Тогда

   $$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in \mathbb Z$$

2. $$\sin 2x=-1$$

   Тогда

   $$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

3. $$\sqrt{2}\sin \frac{x}{3}=-1$$

   Тогда

   $$\sin \frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{3}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^{k+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

4. $$2\sin \frac{x}{2}=\sqrt{3}$$

   Тогда

   $$\sin \frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{2}=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=(-1)^k\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

5. $$\sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)=0$$

   Тогда

   $$x+\frac{3\pi}{4}=\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

6. $$\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

   Тогда

   $$2x+\frac{\pi}{2}=\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$

   Отсюда

   $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb Z$$

Ответ

1. $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\quad k\in \mathbb Z$$
2. $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
3. $$x=(-1)^{k+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
4. $$x=(-1)^k\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
5. $$x=-\frac{3\pi}{4}+\pi k,\quad k\in \mathbb Z$$
6. $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in \mathbb Z$$