Упр.591 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

$$\sin 3x=1$$

Так как $$\sin t=1$$ при $$t=\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

$$3x=\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi k}{3},\ k\in\mathbb Z.$$

$$\sin 2x=-1$$

Так как $$\sin t=-1$$ при $$t=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

$$2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi k.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

$$\sqrt{2}\sin\frac{x}{3}=-1$$

Тогда

$$\sin\frac{x}{3}=-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Отсюда

$$\frac{x}{3}=(-1)^{k+1}\frac{\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Умножая на $$3,$$ получаем

$$x=(-1)^{k+1}\frac{3\pi}{4}+3\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

$$2\sin\frac{x}{2}=\sqrt{3}$$

Тогда

$$\sin\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\frac{x}{2}=(-1)^k\frac{\pi}{3}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=(-1)^k\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

$$\sin\left(x+\frac{3\pi}{4}\right)=0$$

Так как $$\sin t=0$$ при $$t=\pi k,\ k\in\mathbb Z,$$ то

$$x+\frac{3\pi}{4}=\pi k.$$

Следовательно,

$$x=-\frac{3\pi}{4}+\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

$$\sin\left(2x+\frac{\pi}{2}\right)=0$$

Тогда

$$2x+\frac{\pi}{2}=\pi k,\ k\in\mathbb Z.$$

Отсюда

$$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z.$$