Упр.584 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$-1 \leq a \leq 1$$, то $$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a$$.

Положим $$\alpha=\arccos a.$$ Тогда при $$-1\le a\le 1$$ имеем $$0\le \alpha\le \pi$$ и $$a=\cos \alpha.$$

Тогда

$$2\arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}} =2\arccos \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}}.$$

Используем формулу

$$\frac{1+\cos \alpha}{2}=\cos^2\frac{\alpha}{2}.$$

Так как $$0\le \alpha\le \pi,$$ то $$0\le \frac{\alpha}{2}\le \frac{\pi}{2},$$ значит

$$\sqrt{\cos^2\frac{\alpha}{2}}=\cos\frac{\alpha}{2}.$$

Следовательно,

$$2\arccos \sqrt{\frac{1+\cos \alpha}{2}} =2\arccos \left(\cos\frac{\alpha}{2}\right) =2\cdot \frac{\alpha}{2} =\alpha.$$

Но $$\alpha=\arccos a,$$ значит

$$2\arccos \sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a.$$

Ответ: тождество доказано.