Упр.584 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 584 Доказать, что если -1 < = а < = 1, то 2 arccos корень((1+a)/2)=arccosa.

Пусть $$x=\arccos a.$$ Тогда при $$-1\le a\le 1$$ имеем $$a=\cos x$$ и $$x\in[0;\pi].$$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{1+a}{2}} =\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} =\sqrt{\cos^2\frac{x}{2}} =\cos\frac{x}{2}, $$

так как $$\frac{x}{2}\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ и косинус на этом промежутке неотрицателен.

Следовательно,

$$ 2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}} =2\arccos\left(\cos\frac{x}{2}\right) =2\cdot\frac{x}{2} =x. $$

Так как $$x=\arccos a,$$ получаем

$$ 2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a. $$

Ответ

$$2\arccos\sqrt{\frac{1+a}{2}}=\arccos a,\quad -1\le a\le 1.$$