Упр.582 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) sin (arccos1/3 + arccos 2 корень 2/3);
2) cos(arccos4/5 — arccos3/5).

1. $$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)$$
   Используем формулу суммы синусов:
   $$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$
   Тогда
   $$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\sin\left(\arccos\frac13\right)\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)+\cos\left(\arccos\frac13\right)\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right).$$
   Найдём значения:
   $$\cos\left(\arccos\frac13\right)=\frac13,$$
   $$\sin\left(\arccos\frac13\right)=\sqrt{1-\left(\frac13\right)^2}=\sqrt{\frac89}=\frac{2\sqrt2}{3},$$
   $$\cos\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{2\sqrt2}{3},$$
   $$\sin\left(\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\sqrt{1-\left(\frac{2\sqrt2}{3}\right)^2}=\sqrt{\frac19}=\frac13.$$
   Подставим:
   $$\sin\left(\arccos\frac13+\arccos\frac{2\sqrt2}{3}\right)=\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac{2\sqrt2}{3}+\frac13\cdot\frac13=\frac89+\frac19=1.$$

2. $$\cos\left(\arccos\frac45-\arccos\frac35\right)$$
   Используем формулу разности косинусов:
   $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$
   Тогда
   $$\cos\left(\arccos\frac45-\arccos\frac35\right)=\cos\left(\arccos\frac45\right)\cos\left(\arccos\frac35\right)+\sin\left(\arccos\frac45\right)\sin\left(\arccos\frac35\right).$$
   Найдём значения:
   $$\cos\left(\arccos\frac45\right)=\frac45,\qquad \sin\left(\arccos\frac45\right)=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\frac35,$$
   $$\cos\left(\arccos\frac35\right)=\frac35,\qquad \sin\left(\arccos\frac35\right)=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\frac45.$$
   Подставим:
   $$\cos\left(\arccos\frac45-\arccos\frac35\right)=\frac45\cdot\frac35+\frac35\cdot\frac45=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{24}{25}$$.