Упр.582 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить:

1. $$\sin\left(\arccos\frac{1}{3}+\arccos\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)$$;
2. $$\cos\left(\arccos\frac{4}{5}-\arccos\frac{3}{5}\right)$$.

1) Обозначим $$\alpha=\arccos \frac{1}{3}, \qquad \beta=\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$ Тогда

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Найдём значения синуса и косинуса:

$$\cos\alpha=\frac{1}{3}, \qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3},$$

$$\cos\beta=\frac{2\sqrt{2}}{3}, \qquad \sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}.$$

Тогда

$$\sin\left(\arccos \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}\right)=\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}=\frac{8}{9}+\frac{1}{9}=1.$$

2) Пусть $$\alpha=\arccos \frac{4}{5}, \qquad \beta=\arccos \frac{3}{5}.$$ Используем формулу

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Тогда

$$\cos\alpha=\frac{4}{5}, \qquad \sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac{3}{5},$$

$$\cos\beta=\frac{3}{5}, \qquad \sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}.$$

Следовательно,

$$\cos\left(\arccos \frac{4}{5}-\arccos \frac{3}{5}\right)=\frac{4}{5}\cdot\frac{3}{5}+\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{12}{25}+\frac{12}{25}=\frac{24}{25}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$\frac{24}{25}$$.