Упр.581 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 5arccos (cosпи/10);
2) 3 arccos (cos 2);
3) arccos (cos8пи/7);
4) arccos (cos 4).

По определению арккосинуса, если $$0 \le \alpha \le \pi,$$ то

$$\arccos(\cos \alpha)=\alpha.$$

Действительно, число $$\arccos(\cos \alpha)$$ — это угол из промежутка $$[0;\pi],$$ косинус которого равен $$\cos \alpha.$$ При $$0 \le \alpha \le \pi$$ таким углом является сама $$\alpha.$$

Вычислим значения:

1. $$5\arccos\left(\cos \frac{\pi}{10}\right)=5 \cdot \frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{2}.$$

2. Так как $$0 \le 2 \le \pi,$$ то

   $$3\arccos(\cos 2)=3 \cdot 2=6.$$

3. $$\arccos\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)=\arccos\left(\cos\left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)\right)=\arccos\left(-\cos \frac{\pi}{7}\right).$$

   Поскольку $$\frac{6\pi}{7}\in[0;\pi]$$ и

   $$\cos \frac{6\pi}{7}=\cos\left(\pi-\frac{\pi}{7}\right)=-\cos \frac{\pi}{7},$$

   то

   $$\arccos\left(\cos \frac{8\pi}{7}\right)=\frac{6\pi}{7}.$$

4. $$\arccos(\cos 4)=\arccos\left(\cos(2\pi-4)\right).$$

   Так как $$2\pi-4 \in [0;\pi],$$ то

   $$\arccos(\cos 4)=2\pi-4.$$

Ответ

$$\arccos(\cos \alpha)=\alpha,\quad 0 \le \alpha \le \pi.$$

1) $$\frac{\pi}{2};$$ 2) $$6;$$ 3) $$\frac{6\pi}{7};$$ 4) $$2\pi-4.$$