Упр.580 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что при всех значениях $$a$$, таких, что $$-1 \leq a \leq 1$$, выполняется равенство $$\cos(\arccos a)=a$$.
   Вычислить:
   1) $$\cos(\arccos 0{,}2)$$;
   2) $$\cos\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)$$;
   3) $$\cos\left(\pi+\arccos\frac{3}{4}\right)$$;
   4) $$\sin\left(\frac{\pi}{2}+\arccos\frac{1}{3}\right)$$;
   5) $$\sin\left(\arccos\frac{4}{5}\right)$$;
   6) $$\operatorname{tg}\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)$$.

По определению арккосинуса, если $$\arccos a=x,$$ то $$\cos x=a$$ и $$0\le x\le \pi.$$ Следовательно,

$$\cos(\arccos a)=a,\qquad -1\le a\le 1.$$

Вычислим значения:

1. $$\cos(\arccos 0{,}2)=0{,}2.$$
2. $$\cos\!\left(\arccos\left(-\frac{2}{3}\right)\right)=-\frac{2}{3}.$$
3. $$\cos\!\left(\pi+\arccos\frac{3}{4}\right)=-\cos\!\left(\arccos\frac{3}{4}\right)=-\frac{3}{4}.$$
4. $$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\arccos\frac{1}{3}\right)=\cos\!\left(\arccos\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}.$$
5. $$\sin\!\left(\arccos\frac{4}{5}\right)=\sqrt{1-\cos^2\!\left(\arccos\frac{4}{5}\right)}=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}.$$
6. $$\tg\!\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{\sqrt{1-\cos^2\!\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}}{\cos\!\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)}=\frac{\sqrt{1-\frac{9}{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{\sqrt{\frac{1}{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}.$$

Ответ: $$0{,}2;\ -\frac{2}{3};\ -\frac{3}{4};\ \frac{1}{3};\ \frac{3}{5};\ \frac{1}{3}.$$