Упр.580 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) cos(arccos0,2);
2) cos(arccos(-2/3));
3) cos(пи+ arccos3/4);
4) sin(пи/2 + arccos1/3);
5) sin(arccos 4/5);
6) tg(arccos 3/корень 10).

Подробный ответ

По определению арккосинуса, если $$x=\arccos a,$$ то $$\cos x=a$$ и $$0\le x\le \pi.$$ Поэтому для любого $$a\in[-1;1]$$ имеем

$$\cos(\arccos a)=a.$$

Вычислим значения выражений.

$$\cos(\arccos 0{,}2)=0{,}2.$$
$$\cos\!\left(\arccos\left(-\frac23\right)\right)=-\frac23.$$
$$\cos\!\left(\pi+\arccos\frac34\right)=-\cos\!\left(\arccos\frac34\right)=-\frac34.$$
$$\sin\!\left(\frac{\pi}{2}+\arccos\frac13\right)=\cos\!\left(\arccos\frac13\right)=\frac13.$$
Пусть $$\alpha=\arccos\frac45.$$ Тогда $$\cos\alpha=\frac45,$$ а так как $$\alpha\in[0;\pi],$$ то $$\sin\alpha\ge 0.$$ Следовательно,
$$\sin\!\left(\arccos\frac45\right)=\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35.$$
Пусть $$\beta=\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}.$$ Тогда $$\cos\beta=\frac{3}{\sqrt{10}},$$ и
$$\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}.$$
Найдём $$\sin\beta$$:
$$\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\sqrt{1-\left(\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{10}}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.$$
Тогда
$$\tan\!\left(\arccos\frac{3}{\sqrt{10}}\right)=\frac{1/\sqrt{10}}{3/\sqrt{10}}=\frac13.$$