Упр.578 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 578 Найти все корни уравнения cos4x = корень 2/2, удовлетворяющие неравенству |х| < пи/4. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 578 1111

Решим уравнение:

$$\cos 4x=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда

$$4x=\pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Так как

$$\arccos \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi}{4},$$

получаем

$$4x=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Теперь отберём корни, удовлетворяющие неравенству $$|x|<\frac{\pi}{4}.$$

Подходят только значения

$$x=-\frac{\pi}{16},\quad x=\frac{\pi}{16}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{16};\ \frac{\pi}{16}$$