Упр.578 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти все корни уравнения $$\cos 4x=\frac{\sqrt{2}}{2}$$, удовлетворяющие неравенству $$|x|<\frac{\pi}{4}$$.

$$\cos 4x=\frac{\sqrt2}{2}$$

Используем формулу для решений уравнения $$\cos t=a$$:

$$t=\pm \arccos a+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Тогда

$$4x=\pm \arccos \frac{\sqrt2}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi}{4}+2\pi n,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Нужно выбрать корни, удовлетворяющие неравенству $$|x|<\frac{\pi}{4}.$$

При $$n=0$$ получаем

$$x=-\frac{\pi}{16},\quad x=\frac{\pi}{16}.$$

При других значениях $$n$$ модуль $$x$$ уже не меньше $$\frac{\pi}{4}$$, поэтому они не подходят.

Ответ

$$-\frac{\pi}{16},\ \frac{\pi}{16}$$