Упр.577 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти все корни уравнения $$\cos 2x=\frac{1}{2}$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right]$$.

Решим уравнение:

$$\cos 2x=-\frac12.$$

Используем формулу:

$$2x=\pm \arccos\left(-\frac12\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Так как

$$\arccos\left(-\frac12\right)=\frac{2\pi}{3},$$

то

$$2x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,$$

откуда

$$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём корни, принадлежащие отрезку $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{5\pi}{2}\right].$$

Подходят значения:

$$-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$

Ответ

$$-\frac{\pi}{3},\ \frac{\pi}{3},\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3},\ \frac{7\pi}{3}.$$