Упр.576 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

76. Решить уравнение:
    
    1) $$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$;
    
    2) $$4\cos^2 x=3$$;
    
    3) $$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$;
    
    4) $$2\sqrt{2}\cos^2 x=1+\sqrt{2}$$;
    
    5) $$(1+\cos x)(3-2\cos x)=0$$;
    
    6) $$(1-\cos x)(4+3\cos 2x)=0$$;
    
    7) $$(1+2\cos x)(1-3\cos x)=0$$;
    
    8) $$(1-2\cos x)(2+3\cos x)=0$$.

1) $$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x=1$$

По формуле $$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x$$ получаем:

$$\cos 4x=1$$

Тогда

$$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2) $$4\cos^2 x=3$$

$$\cos^2 x=\frac34$$

$$\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$

Отсюда

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

или

$$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Объединяя, получаем:

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3) $$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$

$$2\cos^2 x-2\sin^2 x=1$$

$$2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$

$$\cos 2x=\frac12$$

Тогда

$$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4) $$2\sqrt2\cos^2 x=1+\sqrt2$$

$$\sqrt2(2\cos^2 x-1)=1$$

$$2\cos^2 x-1=\frac1{\sqrt2}$$

$$\cos 2x=\frac1{\sqrt2}$$

Тогда

$$2x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

5) $$(1+\cos x)(3-2\cos x)=0$$

Либо

$$1+\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-1$$

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Либо

$$3-2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac32$$

Это невозможно, так как $$|\cos x|\le 1$$.

Значит,

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

6) $$(1-\cos x)(4+3\cos x)=0$$

Либо

$$1-\cos x=0 \Rightarrow \cos x=1$$

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Либо

$$4+3\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-\frac43$$

Это невозможно, так как $$|\cos x|\le 1$$.

Значит,

$$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

7) $$(1+2\cos x)(1-3\cos x)=0$$

Либо

$$1+2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12$$

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Либо

$$1-3\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac13$$

$$x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ:

$$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

8) $$(1-2\cos x)(2+3\cos x)=0$$

Либо

$$1-2\cos x=0 \Rightarrow \cos x=\frac12$$

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Либо

$$2+3\cos x=0 \Rightarrow \cos x=-\frac23$$

$$x=\pm\left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ:

$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$