Упр.576 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) cos2 2х = 1 + sin2 2х;
2) 4 cos2 х = 3;
3) 2 cos2 х = 1 + 2 sin2 х;
4) 2 корень 2 cos2 х = 1 + корень 2;
5) (1 + cos х) (3 — 2 cos х) = 0;
6) (1 — cos х) (4 + 3 cos 2х) = 0;
7) (1 + 2 cos х) (1 — 3 cos х) = 0;
8) (1-2 cos х) (2 + 3 cos х) = 0.

1. $$\cos^2 2x=1+\sin^2 2x$$

   $$\cos^2 2x-\sin^2 2x=1$$

   $$\cos 4x=1$$

   $$4x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$4\cos^2 x=3$$

   $$\cos^2 x=\frac34$$

   $$\cos x=\pm\frac{\sqrt3}{2}$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Объединяя решения, получаем:

   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$2\cos^2 x=1+2\sin^2 x$$

   $$2\cos^2 x-2\sin^2 x=1$$

   $$2(\cos^2 x-\sin^2 x)=1$$

   $$\cos 2x=\frac12$$

   $$2x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$2\sqrt2\cos^2 x=1+\sqrt2$$

   $$\sqrt2(2\cos^2 x-1)=1$$

   $$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt2}$$

   $$2x=\pm\frac{\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

5. $$\left(1+\cos x\right)\left(3-2\cos x\right)=0$$

   $$1+\cos x=0 \quad \text{или} \quad 3-2\cos x=0$$

   Из первого уравнения:

   $$\cos x=-1$$

   $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Из второго уравнения:

   $$\cos x=\frac32$$

   Таких решений нет.

6. $$\left(1-\cos x\right)\left(4+3\cos 2x\right)=0$$

   $$1-\cos x=0 \quad \text{или} \quad 4+3\cos 2x=0$$

   Из первого уравнения:

   $$\cos x=1$$

   $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Из второго уравнения:

   $$\cos 2x=-\frac43$$

   Таких решений нет.

7. $$\left(1+2\cos x\right)\left(1-3\cos x\right)=0$$

   $$1+2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 1-3\cos x=0$$

   Из первого уравнения:

   $$\cos x=-\frac12$$

   $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Из второго уравнения:

   $$\cos x=\frac13$$

   $$x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

8. $$\left(1-2\cos x\right)\left(2+3\cos x\right)=0$$

   $$1-2\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2+3\cos x=0$$

   Из первого уравнения:

   $$\cos x=\frac12$$

   $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   Из второго уравнения:

   $$\cos x=-\frac23$$

   $$x=\pm\left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

1. $$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$
2. $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
3. $$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
4. $$x=\pm\frac{\pi}{8}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
5. $$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
6. $$x=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
7. $$x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\arccos\frac13+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
8. $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad x=\pm\left(\pi-\arccos\frac23\right)+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$