Упр.575 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

$$\arccos(\sqrt{6}-3)$$;
$$\arccos(\sqrt{7}-2)$$;
$$\arccos(2-\sqrt{10})$$;
$$\arccos(1-\sqrt{5})$$;
$$\operatorname{tg}\left(3\arccos\frac{1}{2}\right)$$.

Подробный ответ

Арккосинус определён только при значениях аргумента из отрезка $$[-1;1].$$ Проверим каждое выражение.

$$\arccos(\sqrt{6}-3)$$
Так как $$4<6<9,$$ то $$2<\sqrt{6}<3,$$ значит
$$-1<\sqrt{6}-3<0.$$
Следовательно, выражение имеет смысл.
$$\arccos(\sqrt{7}-2)$$
Так как $$4<7<9,$$ то $$2<\sqrt{7}<3,$$ значит
$$0<\sqrt{7}-2<1.$$
Следовательно, выражение имеет смысл.
$$\arccos(2-\sqrt{10})$$
Так как $$9<10<16,$$ то $$3<\sqrt{10}<4,$$ значит
$$-2<2-\sqrt{10}<-1.$$
Аргумент арккосинуса не принадлежит отрезку $$[-1;1],$$ поэтому выражение не имеет смысла.
$$\arccos(1-\sqrt{5})$$
Так как $$4<5<9,$$ то $$2<\sqrt{5}<3,$$ значит
$$-2<1-\sqrt{5}<-1.$$
Аргумент арккосинуса не принадлежит отрезку $$[-1;1],$$ поэтому выражение не имеет смысла.
$$\tg\left(3\arccos\frac12\right)$$
Так как $$\arccos\frac12=\frac{\pi}{3},$$ то
$$\tg\left(3\arccos\frac12\right)=\tg\left(3\cdot\frac{\pi}{3}\right)=\tg\pi=0.$$
Следовательно, выражение имеет смысл.