Упр.574 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. $$\cos x \cos 3x = \sin 3x \sin x$$
2. $$\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x = 0$$

1) $$\cos x \cos 3x=\sin 3x \sin x$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\cos x \cos 3x-\sin 3x \sin x=0$$

По формуле $$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ получаем:

$$\cos(x+3x)=0$$

$$\cos 4x=0$$

Тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in \mathbb{Z}$$

2) $$\cos 2x \cos x+\sin 2x \sin x=0$$

Используем формулу $$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$$:

$$\cos(2x-x)=0$$

$$\cos x=0$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4},\quad k\in \mathbb{Z}$$

2) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}$$