Упр.567 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) sin8 a + cos8 a = — 1/32(cos2 4a + 14 cos 4a + 17).

1) Преобразуем правую часть:

$$ \frac18(5+3\cos 4a)=\frac18\bigl(5+3(2\cos^2 2a-1)\bigr)=\frac14(1+3\cos^2 2a). $$

Так как $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=1-2\sin^2 a,$$ то

$$ \cos^2 2a=(1-2\sin^2 a)^2=1-4\sin^2 a\cos^2 a. $$

Тогда

$$ \frac14(1+3\cos^2 2a)=\frac14\bigl(1+3(1-4\sin^2 a\cos^2 a)\bigr)=1-3\sin^2 a\cos^2 a. $$

С другой стороны,

$$ \sin^6 a+\cos^6 a=(\sin^2 a)^3+(\cos^2 a)^3 =(\sin^2 a+\cos^2 a)^3-3\sin^2 a\cos^2 a(\sin^2 a+\cos^2 a) =1-3\sin^2 a\cos^2 a. $$

Следовательно,

$$ \sin^6 a+\cos^6 a=\frac18(5+3\cos 4a). $$

2) Преобразуем левую часть:

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=(\sin^4 a+\cos^4 a)^2-2\sin^4 a\cos^4 a. $$

Так как

$$ \sin^4 a+\cos^4 a=(\sin^2 a+\cos^2 a)^2-2\sin^2 a\cos^2 a=1-2\sin^2 a\cos^2 a, $$

то

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=(1-2\sin^2 a\cos^2 a)^2-2\sin^4 a\cos^4 a =1-4\sin^2 a\cos^2 a+2\sin^4 a\cos^4 a. $$

Переходим к формуле двойного угла:

$$ \sin^2 2a=4\sin^2 a\cos^2 a,\qquad \sin^4 2a=16\sin^4 a\cos^4 a. $$

Тогда

$$ \sin^8 a+\cos^8 a=1-\sin^2 2a+\frac18\sin^4 2a. $$

Используем $$\sin^2 2a=\frac{1-\cos 4a}{2}$$:

$$ \sin^8 a+\cos^8 a =1-\frac12(1-\cos 4a)+\frac1{32}(1-\cos 4a)^2. $$

Раскрывая скобки, получаем

$$ \sin^8 a+\cos^8 a =\frac1{32}\bigl(\cos^2 4a+14\cos 4a+17\bigr). $$

Ответ

$$ 1)\ \sin^6 a+\cos^6 a=\frac18(5+3\cos 4a),\qquad 2)\ \sin^8 a+\cos^8 a=\frac1{32}\bigl(\cos^2 4a+14\cos 4a+17\bigr). $$