Упр.566 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

566 sin2a+cos(пи/3-a)cos(пи/3 + a)=1/4.

Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos x \cos y=\frac{1}{2}\bigl(\cos(x+y)+\cos(x-y)\bigr).$$

Тогда

$$ \sin^2 a+\cos\left(\frac{\pi}{3}-a\right)\cos\left(\frac{\pi}{3}+a\right) =\sin^2 a+\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+\cos(-2a)\right). $$

Так как $$\cos(-2a)=\cos 2a$$ и $$\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2},$$ получаем

$$ \sin^2 a+\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}+\cos 2a\right). $$

Подставим $$\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a$$:

$$ \sin^2 a-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\cos^2 a-\frac{1}{2}\sin^2 a =\frac{1}{2}\cos^2 a+\frac{1}{2}\sin^2 a-\frac{1}{4}. $$

Так как $$\cos^2 a+\sin^2 a=1,$$ то

$$ \frac{1}{2}\cdot 1-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$\frac{1}{4}$$