Упр.565 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Найти значение выражения $$\frac{\sin a}{\sin 3a+3\cos 3a}$$, если $$\tan a=2$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sin a}{\sin^3 a+3\cos^3 a}=\frac{\sin a/\cos^3 a}{\sin^3 a/\cos^3 a+3}=\frac{\tg a\cdot \frac{1}{\cos^2 a}}{\tg^3 a+3}.$$

Так как $$\frac{1}{\cos^2 a}=1+\tg^2 a,$$ то

$$\frac{\sin a}{\sin^3 a+3\cos^3 a}=\frac{\tg a(1+\tg^2 a)}{\tg^3 a+3}.$$

Подставим $$\tg a=2$$:

$$\frac{2(1+2^2)}{2^3+3}=\frac{2\cdot 5}{8+3}=\frac{10}{11}.$$

Ответ: $$\frac{10}{11}$$