Упр.564 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 564 (sina + sin3a+sin5a)/(cos+cos3a + cos5a) =tg3a.

Преобразуем числитель и знаменатель по формулам суммы синусов и косинусов:

$$ \sin \alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha =2\sin 3\alpha \cos 2\alpha+\sin 3\alpha =\sin 3\alpha(2\cos 2\alpha+1) $$

$$ \cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha =2\cos 3\alpha \cos 2\alpha+\cos 3\alpha =\cos 3\alpha(2\cos 2\alpha+1) $$

Тогда

$$ \frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha} = \frac{\sin 3\alpha(2\cos 2\alpha+1)}{\cos 3\alpha(2\cos 2\alpha+1)} = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tg 3\alpha $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha}=\tg 3\alpha $$