Упр.564 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулами суммы синусов и косинусов:

$$\sin \alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha =2\sin 3\alpha \cos 2\alpha+\sin 3\alpha =\sin 3\alpha\,(2\cos 2\alpha+1),$$
$$\cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha =2\cos 3\alpha \cos 2\alpha+\cos 3\alpha =\cos 3\alpha\,(2\cos 2\alpha+1).$$

Тогда

$$\frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha+\sin 5\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha+\cos 5\alpha} = \frac{\sin 3\alpha\,(2\cos 2\alpha+1)}{\cos 3\alpha\,(2\cos 2\alpha+1)} = \frac{\sin 3\alpha}{\cos 3\alpha} = \tg 3\alpha.$$

Тождество доказано.