Упр.563 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

563 1) sin2 (а + b) = sin2 а + sin2b + 2 sin а sinb cos (а + b);
2) sin а + 2 sin За + sin 5а = 4 sin За cos2 а.

1. Преобразуем левую часть:

   $$ \sin^2(\alpha+\beta)=(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)^2 $$

   $$ =\sin^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta $$

   $$ =\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)+\sin^2\beta(1-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta $$

   $$ =\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin^2\alpha\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta $$

   $$ =\sin^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta) $$

   $$ =\sin^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta) $$

   Следовательно, тождество доказано.

2. Преобразуем левую часть:

   $$ \sin\alpha+2\sin3\alpha+\sin5\alpha $$

   $$ =(\sin\alpha+\sin5\alpha)+2\sin3\alpha $$

   $$ =2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2}+2\sin3\alpha $$

   $$ =2\sin3\alpha\cos2\alpha+2\sin3\alpha $$

   $$ =2\sin3\alpha(\cos2\alpha+1) $$

   $$ =2\sin3\alpha(2\cos^2\alpha) =4\sin3\alpha\cos^2\alpha $$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\sin^2(\alpha+\beta)=\sin^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta)$$

2) $$\sin\alpha+2\sin3\alpha+\sin5\alpha=4\sin3\alpha\cos^2\alpha$$