Упр.563 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 563. Доказать тождество:
   1. $$\sin^2(a+b)=\sin^2a+\sin^2b+2\sin a\sin b\cos(a+b);$$
   2. $$\sin a+2\sin 3a+\sin 5a=4\sin 3a\cos^2a.$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\sin^2(\alpha+\beta)=(\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\alpha)^2$$

$$=\sin^2\alpha\cos^2\beta+\sin^2\beta\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\beta\sin\beta\cos\alpha$$

$$=\sin^2\alpha(1-\sin^2\beta)+\sin^2\beta(1-\sin^2\alpha)+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$$

$$=\sin^2\alpha+\sin^2\beta-2\sin^2\alpha\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta$$

$$=\sin^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta(\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta)$$

$$=\sin^2\alpha+\sin^2\beta+2\sin\alpha\sin\beta\cos(\alpha+\beta).$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем левую часть:

$$\sin\alpha+2\sin3\alpha+\sin5\alpha =2\sin3\alpha+\bigl(\sin\alpha+\sin5\alpha\bigr)$$

$$=2\sin3\alpha+2\sin\frac{\alpha+5\alpha}{2}\cos\frac{\alpha-5\alpha}{2} =2\sin3\alpha+2\sin3\alpha\cos2\alpha$$

$$=2\sin3\alpha(\cos2\alpha+1) =2\sin3\alpha(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)$$

$$=4\sin3\alpha\cos^2\alpha.$$

Тождество доказано.