Упр.562 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить значение выражения $$\frac{4\sin 2a+5\cos 2a}{2\sin 2a-3\cos 2a}$$, если $$\operatorname{ctg} a=\frac{1}{3}$$.

Пусть $$t=\ctg \alpha.$$ Тогда по условию $$t=\frac{1}{3}.$$

Найдём $$\ctg 2\alpha$$ по формуле:

$$\ctg 2\alpha=\frac{\ctg^2\alpha-1}{2\ctg\alpha}=\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^2-1}{2\cdot \frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{9}-1}{\frac{2}{3}}=\frac{-\frac{8}{9}}{\frac{2}{3}}=-\frac{4}{3}.$$

Теперь преобразуем выражение:

$$\frac{4\sin 2\alpha+5\cos 2\alpha}{2\sin 2\alpha-3\cos 2\alpha} =\frac{\frac{4\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha}+\frac{5\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}}{\frac{2\sin 2\alpha}{\sin 2\alpha}-\frac{3\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}} =\frac{4+5\ctg 2\alpha}{2-3\ctg 2\alpha}.$$

Подставим $$\ctg 2\alpha=-\frac{4}{3}$$:

$$\frac{4+5\left(-\frac{4}{3}\right)}{2-3\left(-\frac{4}{3}\right)} =\frac{4-\frac{20}{3}}{2+4} =\frac{-\frac{8}{3}}{6} =-\frac{4}{9}.$$

Ответ: $$-\frac{4}{9}$$