Упр.562 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

(4sin2a+5cos2a)/(2sin2a-3cos2a), если ctga=1/3.

Из условия $$\ctg a=\frac{1}{3}$$, значит

$$\tg a=3.$$

Найдём $$\ctg 2a$$ по формуле:

$$\ctg 2a=\frac{1-\tg^2 a}{2\tg a}=\frac{1-3^2}{2\cdot 3}=\frac{1-9}{6}=-\frac{4}{3}.$$

Теперь преобразуем выражение:

$$ \frac{4\sin 2a+5\cos 2a}{2\sin 2a-3\cos 2a} = \frac{\frac{4\sin 2a}{\sin 2a}+\frac{5\cos 2a}{\sin 2a}}{\frac{2\sin 2a}{\sin 2a}-\frac{3\cos 2a}{\sin 2a}} = \frac{4+5\ctg 2a}{2-3\ctg 2a}. $$

Подставим $$\ctg 2a=-\frac{4}{3}$$:

$$ \frac{4+5\left(-\frac{4}{3}\right)}{2-3\left(-\frac{4}{3}\right)} = \frac{4-\frac{20}{3}}{2+4} = \frac{-\frac{8}{3}}{6} = -\frac{4}{9}. $$

Ответ

$$-\frac{4}{9}$$