Упр.561 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

sin2a/cosa — cos2a/sina, если sina-cosa=1/2.

Пусть $$s=\sin a$$, $$c=\cos a$$. Тогда по условию $$s-c=\frac12$$.

Найдём произведение $$sc$$:

$$ (s-c)^2=s^2-2sc+c^2=1-2sc $$
$$ \left(\frac12\right)^2=1-2sc $$
$$ \frac14=1-2sc $$
$$ 2sc=\frac34,\qquad sc=\frac38 $$

Теперь преобразуем выражение:

$$ \frac{\sin^2 a}{\cos a}-\frac{\cos^2 a}{\sin a} = \frac{\sin^3 a-\cos^3 a}{\sin a\cos a} $$
$$ = \frac{(\sin a-\cos a)(\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a)}{\sin a\cos a} $$
$$ = \frac{(\sin a-\cos a)(1+\sin a\cos a)}{\sin a\cos a} $$

Подставим найденные значения:

$$ \frac{\frac12\left(1+\frac38\right)}{\frac38} = \frac{\frac12\cdot\frac{11}{8}}{\frac38} = \frac{11}{16}\cdot\frac{8}{3} = \frac{11}{6} $$

Ответ

$$\frac{11}{6}$$