Упр.561 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить значение выражения $$\frac{\sin 2a}{\cos a}-\frac{\cos 2a}{\sin a}$$, если $$\sin a-\cos a=\frac{1}{2}$$.

Преобразуем выражение:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos a}-\frac{\cos^2 a}{\sin a}=\frac{\sin^3 a-\cos^3 a}{\sin a\cos a}.$$

Разложим разность кубов:

$$\sin^3 a-\cos^3 a=(\sin a-\cos a)(\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a).$$

Тогда

$$\frac{\sin^2 a}{\cos a}-\frac{\cos^2 a}{\sin a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a)}{\sin a\cos a}.$$

Так как $$\sin a-\cos a=\frac12,$$ найдём $$\sin a\cos a$$:

$$(\sin a-\cos a)^2=\sin^2 a-2\sin a\cos a+\cos^2 a=1-2\sin a\cos a,$$

$$\left(\frac12\right)^2=1-2\sin a\cos a,$$

$$2\sin a\cos a=1-\frac14=\frac34,\qquad \sin a\cos a=\frac38.$$

Теперь

$$\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a=1+\sin a\cos a=1+\frac38=\frac{11}{8}.$$

Подставим:

$$\frac{(\sin a-\cos a)(\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a)}{\sin a\cos a} = \frac{\frac12\cdot \frac{11}{8}}{\frac38} = \frac{11}{16}\cdot \frac{8}{3} = \frac{11}{6}.$$

Ответ

$$\frac{11}{6}$$