Упр.559 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)

Преобразуем левую часть:

$$\frac{1-\cos a+\cos 2a}{\sin 2a-\sin a} = \frac{(1-\cos a)+(\cos 2a)}{\sin 2a-\sin a}$$

Используем формулы $$1-\cos a=2\sin^2\frac a2$$, $$\cos 2a=2\cos^2 a-1$$, $$\sin 2a=2\sin a\cos a$$:

$$\frac{1-\cos a+\cos 2a}{\sin 2a-\sin a} = \frac{2\cos^2 a-\cos a}{2\sin a\cos a-\sin a} = \frac{\cos a(2\cos a-1)}{\sin a(2\cos a-1)} = \frac{\cos a}{\sin a} = \ctg a$$

Следовательно, тождество верно.

2)

Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin a+\sin \frac a2}{1+\cos a+\cos \frac a2}$$

Используем формулы $$\sin a=2\sin\frac a2\cos\frac a2$$ и $$1+\cos a=2\cos^2\frac a2$$:

$$\frac{\sin a+\sin \frac a2}{1+\cos a+\cos \frac a2} = \frac{2\sin\frac a2\cos\frac a2+\sin\frac a2}{2\cos^2\frac a2+\cos\frac a2} = \frac{\sin\frac a2\left(2\cos\frac a2+1\right)}{\cos\frac a2\left(2\cos\frac a2+1\right)} = \frac{\sin\frac a2}{\cos\frac a2} = \tg\frac a2$$

Тождество доказано.

Ответ: 1) $$\ctg a$$; 2) $$\tg\frac a2$$.