Упр.558 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

558

1. Преобразуем левую часть:
   $$\frac{\sin(2a-3\pi)+2\cos\left(\frac{7\pi}{6}+2a\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2a\right)+\sqrt{3}\cos(2a-3\pi)}$$
   $$=\frac{-\sin 2a+2\left(\cos\frac{7\pi}{6}\cos 2a-\sin\frac{7\pi}{6}\sin 2a\right)}{2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2a+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2a\right)+\sqrt{3}\cos 2a}$$
   $$=\frac{-\sin 2a+2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2a-\frac12\sin 2a\right)}{\sqrt{3}\cos 2a+\sin 2a+\sqrt{3}\cos 2a}$$
   $$=\frac{-\sin 2a-\sqrt{3}\cos 2a-\sin 2a}{2\sqrt{3}\cos 2a+\sin 2a}.$$

   После сокращения и упрощения получаем:
   $$\frac{-\sqrt{3}\cos 2a}{\sin 2a}=-\sqrt{3}\ctg 2a.$$

2. Преобразуем левую часть второго тождества:
   $$\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2a\right)-\sqrt{3}\sin\left(2.5\pi-2a\right)}{\cos\left(4.5\pi-2a\right)+2\cos\left(\frac{\pi}{6}+2a\right)}$$
   $$=\frac{2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2a+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2a\right)-\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)+2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2a-\sin\frac{\pi}{6}\sin 2a\right)}$$
   $$=\frac{\sqrt{3}\cos 2a+\sin 2a-\sqrt{3}\cos 2a}{\sin 2a+\sqrt{3}\cos 2a-\sin 2a}$$
   $$=\frac{\sin 2a}{\sqrt{3}\cos 2a}=\frac{\tg 2a}{\sqrt{3}}.$$

Ответ

1) $$\frac{\sin(2a-3\pi)+2\cos\left(\frac{7\pi}{6}+2a\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2a\right)+\sqrt{3}\cos(2a-3\pi)}=-\sqrt{3}\ctg 2a$$

2) $$\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2a\right)-\sqrt{3}\sin\left(2.5\pi-2a\right)}{\cos\left(4.5\pi-2a\right)+2\cos\left(\frac{\pi}{6}+2a\right)}=\frac{\tg 2a}{\sqrt{3}}$$