Упр.558 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество (558—559).

1)

$$\frac{\sin(2a-3\pi)+2\cos\left(\frac{7\pi}{6}+2a\right)}{2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2a\right)+\sqrt{3}\cos(2a-3\pi)} = \frac{-\sin 2a+2\left(\cos\frac{7\pi}{6}\cos 2a-\sin\frac{7\pi}{6}\sin 2a\right)}{2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2a+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2a\right)+\sqrt{3}\cos 2a}$$
$$= \frac{-\sin 2a+2\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2a-\frac12\sin 2a\right)}{\sqrt{3}\cos 2a+\sin 2a+\sqrt{3}\cos 2a} = \frac{-\sin 2a-\sqrt{3}\cos 2a-\sin 2a}{2\sqrt{3}\cos 2a+\sin 2a}$$
$$= \frac{-\sqrt{3}\cos 2a}{\sin 2a} = -\sqrt{3}\ctg 2a.$$

Тождество доказано.

2)

$$\frac{2\cos\left(\frac{\pi}{6}-2a\right)-\sqrt{3}\sin\left(2{,}5\pi-2a\right)}{\cos(4{,}5\pi-2a)+2\cos\left(\frac{\pi}{6}+2a\right)} = \frac{2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2a+\sin\frac{\pi}{6}\sin 2a\right)-\sqrt{3}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)}{\cos\left(\frac{\pi}{2}-2a\right)+2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos 2a-\sin\frac{\pi}{6}\sin 2a\right)}$$
$$= \frac{\sqrt{3}\cos 2a+\sin 2a-\sqrt{3}\cos 2a}{\sin 2a+\sqrt{3}\cos 2a-\sin 2a} = \frac{\sin 2a}{\sqrt{3}\cos 2a} = \frac{\tg 2a}{\sqrt{3}}.$$

Тождество доказано.