Упр.557 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 557 Упростить выражение

Используем формулы:

$$\cos \beta \cos \alpha+\sin \beta \sin \alpha=\cos(\beta-\alpha),$$
$$1-\cos 4\alpha=2\sin^2 2\alpha,$$
$$\cos\bigl(\pi-(\beta-\alpha)\bigr)=-\cos(\beta-\alpha).$$

Тогда

$$ \left(\frac{\cos \beta}{\sin \alpha}+\frac{\sin \beta}{\cos \alpha}\right)\cdot \frac{1-\cos 4\alpha}{\cos(\pi-\beta+\alpha)} = \frac{\cos \beta \cos \alpha+\sin \beta \sin \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}\cdot \frac{2\sin^2 2\alpha}{-\cos(\beta-\alpha)}. $$

Подставим формулу для числителя первой дроби:

$$ \frac{\cos(\beta-\alpha)}{\sin \alpha \cos \alpha}\cdot \frac{2\sin^2 2\alpha}{-\cos(\beta-\alpha)} = -\frac{2\sin^2 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha}. $$

Так как

$$\sin 2\alpha=2\sin \alpha \cos \alpha,$$

то

$$ -\frac{2\sin^2 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = -\frac{2\sin 2\alpha\cdot \sin 2\alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = -4\sin 2\alpha. $$

Ответ

$$-4\sin 2\alpha$$