Упр.555 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1) Преобразуем левую часть:

$$\frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a} = \frac{2\sin 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\sin 2a+2\sin 2a\cos 2a} = \frac{2\sin 2a(1-\cos 2a)}{2\sin 2a(1+\cos 2a)} = \frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}.$$

Используем формулу $$\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}=\tg^2 a$$:

$$\frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a}=\tg^2 a.$$

Тождество доказано.

2) Преобразуем правую часть:

$$\tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right) = \frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}.$$

Теперь преобразуем левую часть:

$$\frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a} = \frac{2\cos 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\cos 2a+2\sin 2a\cos 2a} = \frac{2\cos 2a(1-\sin 2a)}{2\cos 2a(1+\sin 2a)} = \frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}.$$

Следовательно,

$$\frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a} = \tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right).$$

Тождество доказано.