Упр.555 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 555 Доказать тождество:

1. Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a} = \frac{2\sin 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\sin 2a+2\sin 2a\cos 2a} = \frac{2\sin 2a(1-\cos 2a)}{2\sin 2a(1+\cos 2a)} = \frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}. $$

   Используем формулу

   $$ \frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}=\tg^2 a. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a}=\tg^2 a. $$

2. Преобразуем правую часть:

   $$ \tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right) = \frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}. $$

   Теперь преобразуем левую часть:

   $$ \frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a} = \frac{2\cos 2a-2\sin 2a\cos 2a}{2\cos 2a+2\sin 2a\cos 2a} = \frac{2\cos 2a(1-\sin 2a)}{2\cos 2a(1+\sin 2a)} = \frac{1-\sin 2a}{1+\sin 2a}. $$

   Значит,

   $$ \frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a} = \tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right). $$

Ответ

1) $$\frac{2\sin 2a-\sin 4a}{2\sin 2a+\sin 4a}=\tg^2 a.$$
2) $$\frac{2\cos 2a-\sin 4a}{2\cos 2a+\sin 4a}=\tg^2\left(\frac{\pi}{4}-a\right).$$