Упр.553 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

553. 1) 2sin6acos2(пи/4 + 3a) — sin6a при a= 5пи/24;
2) sin3a+ 2cos(пи- 3a)sin2(пи/4 — 1,5a) a при a= 5пи/36.

1) Упростим выражение:

$$2\sin 6a\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)-\sin 6a$$

Вынесем $$\sin 6a$$ за скобки:

$$\sin 6a\left(2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)-1\right)$$

Используем формулу $$2\cos^2 x-1=\cos 2x$$:

$$\sin 6a\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}+3a\right)\right)=\sin 6a\cos\left(\frac{\pi}{2}+6a\right)$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)=-\sin x$$, получаем:

$$-\sin 6a\sin 6a=-\sin^2 6a$$

Подставим $$a=\frac{5\pi}{24}$$:

$$-\sin^2 6a=-\sin^2\left(6\cdot\frac{5\pi}{24}\right)=-\sin^2\frac{5\pi}{4}$$

$$\sin\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}, \quad \sin^2\frac{5\pi}{4}=\frac12$$

Следовательно,

$$-\sin^2\frac{5\pi}{4}=-\frac12$$

2) Упростим выражение:

$$\cos 3a+2\cos(\pi-3a)\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)$$

Так как $$\cos(\pi-x)=-\cos x$$, имеем:

$$\cos 3a-2\cos 3a\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)$$

Вынесем $$\cos 3a$$:

$$\cos 3a\left(1-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)\right)$$

Используем формулу $$1-2\sin^2 x=\cos 2x$$:

$$\cos 3a\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}-1{,}5a\right)\right)=\cos 3a\cos\left(\frac{\pi}{2}-3a\right)$$

Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin x$$, получаем:

$$\cos 3a\sin 3a=\frac12\sin 6a$$

Подставим $$a=\frac{5\pi}{36}$$:

$$\frac12\sin 6a=\frac12\sin\left(6\cdot\frac{5\pi}{36}\right)=\frac12\sin\frac{5\pi}{6}$$

$$\sin\frac{5\pi}{6}=\frac12$$

Следовательно,

$$\frac12\cdot\frac12=\frac14$$

Ответ

1) $$-\frac12$$; 2) $$\frac14$$.