Упр.552 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Доказать тождество:
   
   1) $$1+\operatorname{tg} a\operatorname{tg} b=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}$$;
   
   2) $$\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}$$.

Используем формулы:

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}, \qquad \tg b=\frac{\sin b}{\cos b}.$$

1)

$$1+\tg a \cdot \tg b=1+\frac{\sin a}{\cos a}\cdot\frac{\sin b}{\cos b}$$

$$=\frac{\cos a\cos b+\sin a\sin b}{\cos a\cos b}$$

По формуле косинуса разности:

$$\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b.$$

Тогда

$$1+\tg a \cdot \tg b=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}.$$

2)

$$\tg a-\tg b=\frac{\sin a}{\cos a}-\frac{\sin b}{\cos b}$$

$$=\frac{\sin a\cos b-\sin b\cos a}{\cos a\cos b}$$

По формуле синуса разности:

$$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b=\sin a\cos b-\sin b\cos a.$$

Следовательно,

$$\tg a-\tg b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}.$$

Ответ

$$1+\tg a\cdot\tg b=\frac{\cos(a-b)}{\cos a\cos b}, \qquad \tg a-\tg b=\frac{\sin(a-b)}{\cos a\cos b}.$$