Упр.551 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 551

1. Упростим выражение

   $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}$$

   Используем формулы сложения:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a+\cos\frac{\pi}{4}\sin a,$$

   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a-\sin\frac{\pi}{4}\sin a.$$

   Тогда

   $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}+a\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a} {\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a} $$

   $$ = \frac{\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{2}\cos a} = \frac{\sin a}{\cos a} = \tg a. $$

2. Упростим выражение

   $$\frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}$$

   Используем формулы:

   $$\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\sin\frac{\pi}{4}\cos a-\cos\frac{\pi}{4}\sin a,$$

   $$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=\cos\frac{\pi}{4}\cos a+\sin\frac{\pi}{4}\sin a.$$

   Тогда

   $$ \frac{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{4}-a\right)+\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a} {\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a+\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a} $$

   $$ = \frac{-\sqrt{2}\sin a}{\sqrt{2}\cos a} = -\frac{\sin a}{\cos a} = -\tg a. $$

Ответ

1) $$\tg a$$; 2) $$-\tg a$$.