Упр.546 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) cos а, если sin а= корень 3/3 и пи/2 < a < пи; 2) tg а, если cos а = - корень 5/3 и пи < a < 3пи/2; 3) sin а, если tg a = 2 корень 2 и 0 < a < пи/2; 4) cos a, если ctg a = корень 2 и пи < a < 3пи/2.

1. $$\sin a=\frac{\sqrt3}{3}, \quad \frac{\pi}{2}

   Угол во второй четверти, значит $$\cos a<0.$$ Тогда

   $$ \cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac13} =-\sqrt{\frac23} =-\frac{\sqrt6}{3}. $$

2. $$\cos a=-\frac{\sqrt5}{3}, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$

   Угол в третьей четверти, значит $$\tg a>0.$$ Найдём:

   $$ \tg a=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 a}-1} =\sqrt{\frac{1}{\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)^2}-1} =\sqrt{\frac{9}{5}-1} =\sqrt{\frac45} =\frac{2\sqrt5}{5}. $$

3. $$\tg a=2\sqrt2, \quad 0<a<\frac{\pi}{2}.$$

   Угол в первой четверти, значит $$\sin a>0.$$ Используем формулу

   $$ \sin a=\frac{\tg a}{\sqrt{1+\tg^2 a}} =\frac{2\sqrt2}{\sqrt{1+(2\sqrt2)^2}} =\frac{2\sqrt2}{\sqrt{9}} =\frac{2\sqrt2}{3}. $$

4. $$\ctg a=\sqrt2, \quad \pi<a<\frac{3\pi}{2}.$$

   Угол в третьей четверти, значит $$\cos a<0.$$ Тогда

   $$ \cos a=-\frac{\ctg a}{\sqrt{1+\ctg^2 a}} =-\frac{\sqrt2}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}} =-\frac{\sqrt2}{\sqrt3} =-\frac{\sqrt6}{3}. $$

Ответ

1) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$; 2) $$\frac{2\sqrt5}{5}$$; 3) $$\frac{2\sqrt2}{3}$$; 4) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$.