Упр.546 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Найти:
1) $$\cos a$$, если $$\sin a=\frac{\sqrt{3}}{3}$$ и $$\frac{\pi}{2}<a<\pi$$;
2) $$\tg a$$, если $$\cos a=-\frac{\sqrt{5}}{3}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2}$$;
3) $$\sin a$$, если $$\tg a=2\sqrt{2}$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2}$$;
4) $$\cos a$$, если $$\ctg a=\sqrt{2}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2}$$.

1) Так как $$\frac{\pi}{2}<a<\pi,$$ то угол лежит во второй четверти, где $$\cos a<0.$$

Используем формулу:

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a}.$$

Тогда

$$\cos a=-\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt3}{3}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac13}=-\sqrt{\frac23}=-\frac{\sqrt6}{3}.$$

2) Так как $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти, где $$\tg a>0.$$

Используем формулу:

$$\tg a=\sqrt{\frac{1}{\cos^2 a}-1}.$$

Тогда

$$\tg a=\sqrt{\frac{1}{\left(-\frac{\sqrt5}{3}\right)^2}-1}=\sqrt{\frac95-1}=\sqrt{\frac45}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

3) Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол лежит в первой четверти, где $$\sin a>0.$$

Используем формулу:

$$\sin a=\tg a\cdot \cos a,\qquad \cos a=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}}.$$

Тогда

$$\sin a=\tg a\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 a}}=2\sqrt2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+(2\sqrt2)^2}}=2\sqrt2\cdot \frac{1}{\sqrt9}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

4) Так как $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол лежит в третьей четверти, где $$\cos a<0.$$

Используем формулу:

$$\cos a=\ctg a\cdot \sin a,\qquad \sin a=-\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 a}}.$$

Тогда

$$\cos a=\ctg a\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1+\ctg^2 a}}\right)=\sqrt2\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1+(\sqrt2)^2}}\right)=-\sqrt2\cdot \frac{1}{\sqrt3}=-\sqrt{\frac23}=-\frac{\sqrt6}{3}.$$

Ответ: 1) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$; 2) $$\frac{2\sqrt5}{5}$$; 3) $$\frac{2\sqrt2}{3}$$; 4) $$-\frac{\sqrt6}{3}$$.