Упр.543 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

1) cos 22° + cos 24° + cos 26° + cos 28°;
2) cos пи/12 + cos пи/4 + cos 5пи/6.

Подробный ответ

1) Сгруппируем слагаемые попарно и применим формулу

$$\cos \alpha+\cos \beta=2\cos \frac{\alpha+\beta}{2}\cos \frac{\alpha-\beta}{2}.$$

$$ \cos 22^\circ+\cos 24^\circ+\cos 26^\circ+\cos 28^\circ = (\cos 22^\circ+\cos 28^\circ)+(\cos 24^\circ+\cos 26^\circ) $$
$$ =2\cos 25^\circ\cos 3^\circ+2\cos 25^\circ\cos 1^\circ =2\cos 25^\circ(\cos 3^\circ+\cos 1^\circ) $$
$$ =2\cos 25^\circ\cdot 2\cos 2^\circ\cos 1^\circ =4\cos 25^\circ\cos 2^\circ\cos 1^\circ. $$

2) Аналогично используем формулу суммы косинусов:

$$ \cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{6} =\left(\cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}\right)+\cos \frac{5\pi}{6} $$
$$ =2\cos \frac{\pi}{6}\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{6} =\cos \frac{\pi}{6}\left(2\cos \frac{\pi}{12}-1\right). $$

Так как $$\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},$$ а

$$ 2\cos \frac{\pi}{12}-1 =2\cos \frac{\pi}{12}-2\cos \frac{\pi}{3} =2\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{3}\right), $$

то по формуле разности косинусов получаем

$$ 2\left(\cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{3}\right) = -4\sin \frac{5\pi}{24}\sin \left(-\frac{3\pi}{24}\right) =4\sin \frac{5\pi}{24}\sin \frac{\pi}{8}. $$

Следовательно,

$$ \cos \frac{\pi}{12}+\cos \frac{\pi}{4}+\cos \frac{5\pi}{6} =2\sqrt{3}\sin \frac{5\pi}{24}\sin \frac{\pi}{8}. $$