Упр.542 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1. $$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\sqrt{2}\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right);$$
2. $$\cos a-\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)=0;$$
3. $$\frac{\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a}{\cos a+1-2\sin^2 2a}=2\sin a.$$

1) Преобразуем левую часть:

$$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=(\cos^2 a-\sin^2 a)(\cos^2 a+\sin^2 a)+\sin 2a=\cos 2a+\sin 2a.$$

Тогда

$$\cos 2a+\sin 2a=\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right),$$

так как

$$\cos x+\sin x=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right).$$

Следовательно,

$$\cos^4 a-\sin^4 a+\sin 2a=\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right).$$

2) Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)=2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a.$$

Тогда левая часть равна

$$\cos a+2\cos\frac{2\pi}{3}\cos a=\cos a+2\cdot\left(-\frac12\right)\cos a=\cos a-\cos a=0.$$

Значит,

$$\cos a+\cos\left(\frac{2\pi}{3}+a\right)+\cos\left(\frac{2\pi}{3}-a\right)=0.$$

3) Преобразуем числитель и знаменатель:

$$\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a=2\sin a\cos a+2\sin\frac{5a+3a}{2}\cos\frac{5a-3a}{2}$$

$$=2\sin a\cos a+2\sin 4a\cos a=2\sin a(\cos a+\cos 4a).$$

Знаменатель:

$$\cos a+1-2\sin^2 2a=\cos a+1-2(1-\cos^2 2a)=\cos a-1+2\cos^2 2a.$$

Но удобнее использовать тождество $$1-2\sin^2 2a=\cos 4a,$$ тогда

$$\cos a+1-2\sin^2 2a=\cos a+\cos 4a.$$

Следовательно,

$$\frac{\sin 2a+\sin 5a-\sin 3a}{\cos a+1-2\sin^2 2a}=\frac{2\sin a(\cos a+\cos 4a)}{\cos a+\cos 4a}=2\sin a.$$

Тождество доказано.

Ответ:

1) $$\sqrt2\cos\left(2a-\frac{\pi}{4}\right);$$ 2) $$0;$$ 3) $$2\sin a.$$