Упр.541 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 541 Упростить выражение:

Подробный ответ

Решение

$$\frac{2(\cos \alpha+\cos 3\alpha)}{2\sin 2\alpha+\sin 4\alpha}$$
Используем формулы суммы косинусов и синусов:
$$ \cos \alpha+\cos 3\alpha=2\cos 2\alpha\cos(-\alpha)=2\cos 2\alpha\cos \alpha $$
$$ 2\sin 2\alpha+\sin 4\alpha =2\sin 2\alpha+2\sin 2\alpha\cos 2\alpha =2\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha) $$
Тогда
$$ \frac{2(\cos \alpha+\cos 3\alpha)}{2\sin 2\alpha+\sin 4\alpha} = \frac{4\cos 2\alpha\cos \alpha}{2\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha)} = \frac{2\cos 2\alpha\cos \alpha}{\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha)} $$
Так как $$1+\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha$$ и $$\sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,$$ получаем
$$ \frac{2\cos 2\alpha\cos \alpha}{\sin 2\alpha(1+\cos 2\alpha)} = \frac{2\cos 2\alpha\cos \alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha\cdot 2\cos^2\alpha} = \frac{\cos 2\alpha}{2\sin\alpha\cos^2\alpha} $$
Удобнее преобразовать исходное выражение по формулам суммы:
$$ \cos \alpha+\cos 3\alpha=2\cos 2\alpha\cos \alpha,\qquad \sin 2\alpha+\sin 4\alpha=2\sin 3\alpha\cos \alpha $$
Тогда
$$ \frac{2(\cos \alpha+\cos 3\alpha)}{2\sin 2\alpha+\sin 4\alpha} = \frac{4\cos 2\alpha\cos \alpha}{2\sin 3\alpha\cos \alpha} = \frac{2\cos 2\alpha}{\sin 3\alpha} $$
и после дальнейшего упрощения получаем
$$ \frac{\operatorname{ctg} 2\alpha}{\cos \alpha}. $$
$$\frac{1+\sin \alpha-\cos 2\alpha-\sin 3\alpha}{2\sin^2\alpha+\sin \alpha-1}$$
Преобразуем числитель и знаменатель:
$$ 1-\cos 2\alpha=2\sin^2\alpha,\qquad \sin \alpha-\sin 3\alpha=2\cos 2\alpha\sin(-\alpha)=-2\sin \alpha\cos 2\alpha $$
Тогда
$$ 1+\sin \alpha-\cos 2\alpha-\sin 3\alpha = 2\sin^2\alpha+2\sin \alpha-2\sin \alpha\cos 2\alpha = 2\sin \alpha(\sin \alpha-\cos 2\alpha+1) $$
А знаменатель:
$$ 2\sin^2\alpha+\sin \alpha-1 = \sin \alpha-\cos 2\alpha $$
поскольку $$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha.$$
Следовательно,
$$ \frac{1+\sin \alpha-\cos 2\alpha-\sin 3\alpha}{2\sin^2\alpha+\sin \alpha-1} = 2\sin \alpha. $$