Упр.541 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Упростить выражение:

1)

$$\frac{2(\cos \alpha+\cos 3\alpha)}{2\sin 2\alpha+\sin 4\alpha} = \frac{4\cos 2\alpha \cos \alpha}{2\sin 2\alpha+2\sin 3\alpha \cos \alpha} = \frac{4\cos 2\alpha \cos \alpha}{2\cos \alpha(\sin \alpha+\sin 3\alpha)}$$
$$= \frac{2\cos 2\alpha}{\sin \alpha+\sin 3\alpha} = \frac{2\cos 2\alpha}{2\sin 2\alpha \cos \alpha} = \frac{\ctg 2\alpha}{\cos \alpha}.$$

Ответ: $$\frac{\ctg 2\alpha}{\cos \alpha}$$

2)

$$\frac{1+\sin \alpha-\cos 2\alpha-\sin 3\alpha}{2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1} = \frac{1+\sin \alpha-(1-2\sin^2 \alpha)-\sin 3\alpha}{2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1}$$
$$= \frac{2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-\sin 3\alpha}{2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1}.$$

Используем формулу $$\sin 3\alpha=3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha$$:

$$2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-\sin 3\alpha = 2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-(3\sin \alpha-4\sin^3 \alpha)$$
$$= 4\sin^3 \alpha+2\sin^2 \alpha-2\sin \alpha = 2\sin \alpha(2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1).$$

Тогда

$$\frac{1+\sin \alpha-\cos 2\alpha-\sin 3\alpha}{2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1} = \frac{2\sin \alpha(2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1)}{2\sin^2 \alpha+\sin \alpha-1} = 2\sin \alpha.$$

Ответ: $$2\sin \alpha$$