Упр.540 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 540 Доказать тождество: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 alim10-11 540 1111

1. Преобразуем левую часть, используя формулы суммы и разности синусов и косинусов:

   $$ \frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha} = \frac{2\sin \frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos \frac{\alpha-3\alpha}{2}}{2\cos \frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos \frac{\alpha-3\alpha}{2}} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tg 2\alpha. $$

   Следовательно, тождество верно.

2. Преобразуем левую часть:

   $$ \frac{\sin 2\alpha+\sin 4\alpha}{\cos 2\alpha-\cos 4\alpha} = \frac{2\sin \frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos \frac{2\alpha-4\alpha}{2}}{-2\sin \frac{2\alpha+4\alpha}{2}\sin \frac{2\alpha-4\alpha}{2}} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha. $$

   Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$\dfrac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha}=\tg 2\alpha$$;

2) $$\dfrac{\sin 2\alpha+\sin 4\alpha}{\cos 2\alpha-\cos 4\alpha}=\ctg \alpha$$.