Упр.540 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1)

Преобразуем левую часть, используя формулы суммы синусов и косинусов:

$$\frac{\sin \alpha+\sin 3\alpha}{\cos \alpha+\cos 3\alpha} = \frac{2\sin \frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos \frac{\alpha-3\alpha}{2}}{2\cos \frac{\alpha+3\alpha}{2}\cos \frac{\alpha-3\alpha}{2}} = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \tg 2\alpha.$$

Следовательно, тождество доказано.

2)

Преобразуем левую часть, используя формулы суммы и разности синусов и косинусов:

$$\frac{\sin 2\alpha+\sin 4\alpha}{\cos 2\alpha-\cos 4\alpha} = \frac{2\sin \frac{2\alpha+4\alpha}{2}\cos \frac{2\alpha-4\alpha}{2}}{-2\sin \frac{2\alpha+4\alpha}{2}\sin \frac{2\alpha-4\alpha}{2}} = \frac{2\sin 3\alpha\cos(-\alpha)}{-2\sin 3\alpha\sin(-\alpha)} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \ctg \alpha.$$

Тождество доказано.