Упр.539 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Преобразовать в произведение: 1) $$1+2\sin\alpha$$; 2) $$1-2\sin\alpha$$; 3) $$1+2\cos\alpha$$; 4) $$1+\sin\alpha$$.

1) $$1+2\sin \alpha=2\left(\frac12+\sin \alpha\right)=2(\sin 30^\circ+\sin \alpha)$$

По формуле суммы синусов:

$$2(\sin 30^\circ+\sin \alpha)=4\sin\frac{30^\circ+\alpha}{2}\cos\frac{30^\circ-\alpha}{2}$$

$$1+2\sin \alpha=4\sin\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$

2) $$1-2\sin \alpha=2\left(\frac12-\sin \alpha\right)=2(\sin 30^\circ-\sin \alpha)$$

По формуле разности синусов:

$$2(\sin 30^\circ-\sin \alpha)=4\sin\frac{30^\circ-\alpha}{2}\cos\frac{30^\circ+\alpha}{2}$$

$$1-2\sin \alpha=4\sin\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)$$

3) $$1+2\cos \alpha=2\left(\frac12+\cos \alpha\right)=2(\cos 60^\circ+\cos \alpha)$$

По формуле суммы косинусов:

$$2(\cos 60^\circ+\cos \alpha)=4\cos\frac{60^\circ+\alpha}{2}\cos\frac{60^\circ-\alpha}{2}$$

$$1+2\cos \alpha=4\cos\left(30^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(30^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$

4) $$1+\sin \alpha=\sin 90^\circ+\sin \alpha$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin 90^\circ+\sin \alpha=2\sin\frac{90^\circ+\alpha}{2}\cos\frac{90^\circ-\alpha}{2}$$

$$1+\sin \alpha=2\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$

Ответ

$$\begin{aligned} 1)&\ 1+2\sin \alpha=4\sin\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right),\\ 2)&\ 1-2\sin \alpha=4\sin\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right),\\ 3)&\ 1+2\cos \alpha=4\cos\left(30^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(30^\circ-\frac{\alpha}{2}\right),\\ 4)&\ 1+\sin \alpha=2\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right). \end{aligned}$$