Упр.539 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) 1 + 2 sin а;
2) 1 — 2 sin а;
3) 1 + 2 cos а;
4) 1 + sin а.

1. $$1+2\sin \alpha=2\left(\frac12+\sin \alpha\right)=2(\sin 30^\circ+\sin \alpha)$$

   По формуле суммы синусов:
   $$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$$

   Получаем:
   $$ 1+2\sin \alpha =4\sin \frac{30^\circ+\alpha}{2}\cos \frac{30^\circ-\alpha}{2} =4\sin\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right). $$

2. $$1-2\sin \alpha=2\left(\frac12-\sin \alpha\right)=2(\sin 30^\circ-\sin \alpha)$$

   По формуле разности синусов:
   $$\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}$$

   Тогда
   $$ 1-2\sin \alpha =4\cos \frac{30^\circ+\alpha}{2}\sin \frac{30^\circ-\alpha}{2} =4\sin\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right). $$

3. $$1+2\cos \alpha=2\left(\frac12+\cos \alpha\right)=2(\cos 60^\circ+\cos \alpha)$$

   По формуле суммы косинусов:
   $$\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$$

   Получаем:
   $$ 1+2\cos \alpha =4\cos \frac{60^\circ+\alpha}{2}\cos \frac{60^\circ-\alpha}{2} =4\cos\left(30^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(30^\circ-\frac{\alpha}{2}\right). $$

4. $$1+\sin \alpha=\sin 90^\circ+\sin \alpha$$

   По формуле суммы синусов:
   $$\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}$$

   Тогда
   $$ 1+\sin \alpha =2\sin \frac{90^\circ+\alpha}{2}\cos \frac{90^\circ-\alpha}{2} =2\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right). $$

Ответ

$$1)\;4\sin\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$
$$2)\;4\sin\left(15^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(15^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)$$
$$3)\;4\cos\left(30^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(30^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$
$$4)\;2\sin\left(45^\circ+\frac{\alpha}{2}\right)\cos\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$