Упр.536 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 536 Доказать, что вычисление значений синуса, косинуса и тангенса любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от 0 до пи/4.

Пусть $$\alpha$$ — произвольный угол. Представим его в виде

$$\alpha=\pi n+\beta,\qquad n\in \mathbb Z,\quad \beta\in[0;\pi].$$

Тогда угол $$\beta$$ можно записать так:

$$\beta=\frac{\pi}{2}\pm\gamma,\qquad \gamma\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right].$$

В свою очередь,

$$\gamma=2\varphi,\qquad \varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right].$$

Рассмотрим значения тригонометрических функций.

Если $$n$$ чётное, то

$$\sin\alpha=\sin(\pi n+\beta)=\sin\beta,\qquad \cos\alpha=\cos(\pi n+\beta)=\cos\beta.$$

Если $$n$$ нечётное, то

$$\sin\alpha=\sin(\pi n+\beta)=-\sin\beta,\qquad \cos\alpha=\cos(\pi n+\beta)=-\cos\beta.$$

Значит, в любом случае значения $$\sin\alpha$$ и $$\cos\alpha$$ сводятся к значениям $$\sin\beta$$ и $$\cos\beta$$.

Далее, так как $$\beta=\frac{\pi}{2}\pm\gamma$$, то по формулам приведения получаем:

$$\sin\beta=\pm\cos\gamma,\qquad \cos\beta=\pm\sin\gamma.$$

Следовательно, достаточно уметь находить $$\sin\gamma$$ и $$\cos\gamma$$.

Но $$\gamma=2\varphi$$, где $$\varphi\in\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$, поэтому по формулам двойного угла:

$$\sin\gamma=\sin 2\varphi=2\sin\varphi\cos\varphi,$$

$$\cos\gamma=\cos 2\varphi=\cos^2\varphi-\sin^2\varphi.$$

Кроме того,

$$\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},\qquad \ctg\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}.$$

Значит, значения $$\tg\alpha$$ и $$\ctg\alpha$$ также выражаются через значения синуса и косинуса углов, лежащих в промежутке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$.

Итак, вычисление значений $$\sin$$, $$\cos$$ и $$\tg$$ любого угла можно свести к вычислению их значений для угла, заключённого в промежутке от $$0$$ до $$\frac{\pi}{4}$$.

Ответ

Доказано, что значения $$\sin$$, $$\cos$$ и $$\tg$$ любого угла сводятся к вычислению этих функций для угла из промежутка $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$.