Упр.535 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-1\right)=1$$;
2. $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=1$$;
3. $$\cos(x-\pi)=0$$;
4. $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=1$$;
5. $$\sin(2x+3\pi)\sin\left(3x+\frac{3\pi}{2}\right)-\sin 3x\cos 2x=-1$$;
6. $$\sin\left(5x-\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x+4\pi)-\sin(5x+\pi)\sin 2x=0$$.

1) $$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1$$

По формуле приведения получаем:

$$\sin x=1$$

Тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=1$$

По формуле приведения:

$$-\cos x=1$$

$$\cos x=-1$$

Следовательно,

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

3) $$\cos(x-\pi)=0$$

Используем формулу приведения:

$$-\cos x=0$$

$$\cos x=0$$

Отсюда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

4) $$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=1$$

По формуле приведения:

$$-\cos x=1$$

$$\cos x=-1$$

Значит,

$$x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

5) $$\sin(2x+3\pi)\sin\left(3x+\frac{3\pi}{2}\right)-\sin3x\cos2x=-1$$

Преобразуем выражение:

$$\sin(2x+3\pi)=-\sin2x,\qquad \sin\left(3x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos3x.$$

Тогда

$$\sin2x\cos3x-\sin3x\cos2x=-1.$$

По формуле синуса разности:

$$\sin(2x-3x)=-1$$

$$\sin(-x)=-1$$

$$-\sin x=-1$$

$$\sin x=1$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

6) $$\sin\left(5x-\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x+4\pi)-\sin(5x+\pi)\sin2x=0$$

Преобразуем:

$$\sin\left(5x-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos5x,\qquad \cos(2x+4\pi)=\cos2x,\qquad \sin(5x+\pi)=-\sin5x.$$

Тогда

$$\cos5x\cos2x+\sin5x\sin2x=0.$$

По формуле косинуса суммы:

$$\cos(5x-2x)=0$$

$$\cos3x=0$$

Отсюда

$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

то есть

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 2) $$x=\pi+2\pi n$$; 3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; 4) $$x=\pi+2\pi n$$; 5) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 6) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$