Упр.535 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
1) cos(пи/2 — 1)=1;
2) sin(3пи/2 + x)=1;
3) cos(x-пи)=0;
4) sin(x-пи/2)=1;
5) sin(2x+3пи)sin(3x+3пи/2) — sin3xcos2x=-1;
6) sin(5x-3пи/2)cos(2x+4пи) — sin(5x+пи) sin2x=0.
$$\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1$$
По формуле приведения:
$$\sin x=1$$
Отсюда
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)=1$$
По формуле приведения:
$$-\cos x=1$$
Следовательно,
$$\cos x=-1,$$
значит
$$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\cos(x-\pi)=0$$
Так как $$\cos(x-\pi)=-\cos x,$$ то
$$\cos x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=1$$
По формуле приведения:
$$-\cos x=1$$
Следовательно,
$$\cos x=-1,$$
откуда
$$x=\pi+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\sin(2x+3\pi)\sin\left(3x+\frac{3\pi}{2}\right)-\sin 3x\cos 2x=-1$$
Преобразуем тригонометрические функции:
$$\sin(2x+3\pi)=-\sin 2x,\qquad \sin\left(3x+\frac{3\pi}{2}\right)=-\cos 3x.$$
Тогда
$$\sin 2x\cos 3x-\sin 3x\cos 2x=-1.$$
По формуле синуса разности:
$$\sin(2x-3x)=-1,$$
то есть
$$-\sin x=-1.$$
Следовательно,
$$\sin x=1,$$
и потому
$$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
$$\sin\left(5x-\frac{3\pi}{2}\right)\cos(2x+4\pi)-\sin(5x+\pi)\sin 2x=0$$
Используем формулы приведения:
$$\sin\left(5x-\frac{3\pi}{2}\right)=\cos 5x,\qquad \cos(2x+4\pi)=\cos 2x,\qquad \sin(5x+\pi)=-\sin 5x.$$
Получаем
$$\cos 5x\cos 2x+\sin 5x\sin 2x=0.$$
По формуле косинуса суммы:
$$\cos(5x-2x)=0,$$
то есть
$$\cos 3x=0.$$
Следовательно,
$$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
Ответ
1) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 2) $$x=\pi+2\pi n$$; 3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$; 4) $$x=\pi+2\pi n$$; 5) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n$$; 6) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in\mathbb Z.$$
