Упр.532 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

532. Доказать тождество:
     1) $$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=0$$;
     2) $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right)=0$$;
     3) $$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)}{\operatorname{tg}(\pi+a)}\cdot\frac{\operatorname{ctg}\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}{\operatorname{tg}\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)}=-\sin a$$.

1) Преобразуем левую часть, используя формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{\pi}{4}+a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-a\right)\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$ получаем

$$\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{4}-a\right)=0.$$

Тождество доказано.

2) Аналогично:

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{3}+a\right) = \cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\sin\left(\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right)$$

Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x,$$ имеем

$$\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)-\cos\left(\frac{\pi}{6}-a\right)=0.$$

Тождество доказано.

3) Упростим левую часть:

$$\frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)}{\tg(\pi+a)}\cdot \frac{\ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)}{\tg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)}$$

Используем формулы приведения:

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2}-a\right)=-\cos a,\qquad \tg(\pi+a)=\tg a,$$

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2}+a\right)=-\tg a,\qquad \tg\left(a-\frac{3\pi}{2}\right)=\tg\left(a-\frac{\pi}{2}\right)=-\ctg a.$$

Тогда

$$\frac{-\cos a}{\tg a}\cdot \frac{-\tg a}{-\ctg a} = -\cos a\cdot \frac{1}{\ctg a} = -\cos a\cdot \tg a = -\sin a.$$

Тождество доказано.

Ответ: все три тождества верны.