Упр.53 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1) Обозначим левую часть через $$x$$:

$$x=\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}.$$

Возведём в квадрат:

$$x^2=(4+2\sqrt3)+(4-2\sqrt3)-2\sqrt{(4+2\sqrt3)(4-2\sqrt3)}.$$

$$x^2=8-2\sqrt{16-12}=8-2\sqrt4=8-4=4.$$

Так как $$x>0$$, то $$x=2$$.

Что и требовалось доказать.

2) Обозначим левую часть через $$x$$:

$$x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.$$

Тогда

$$x^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})+3\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}\,x.$$

$$x^3=18+3\sqrt[3]{81-80}\,x=18+3x.$$

Следовательно,

$$x^3-3x-18=0.$$

Проверим $$x=3$$:

$$3^3-3\cdot 3-18=27-9-18=0.$$

Значит, $$x=3$$.

Что и требовалось доказать.