Упр.523 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Решить уравнение:

1. $$1-\cos x=2\sin x/2$$
2. $$1+\cos x=2\cos x/2$$
3. $$1+\cos x/2=2\sin\left(x/4-\frac{3\pi}{2}\right)$$
4. $$1+\cos 8x=2\cos 4x$$
5. $$2\sin 2x/2+\frac{1}{2}\sin 2x=1$$
6. $$2\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 4x=1$$

1) $$1-\cos x=2\sin \frac{x}{2}$$

Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}$$:

$$2\sin^2 \frac{x}{2}-2\sin \frac{x}{2}=0$$

$$2\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=1$$

$$\frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\pi+4\pi n$$

$$x=2\pi n,\; \pi+4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

2) $$1+\cos x=2\cos \frac{x}{2}$$

Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}$$:

$$2\cos^2 \frac{x}{2}-2\cos \frac{x}{2}=0$$

$$2\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=1$$

$$\frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$

$$\frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n$$

$$x=\pi+2\pi n,\; 4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

3) $$1+\cos \frac{x}{2}=2\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)$$

Преобразуем правую часть:

$$\sin \left(\frac{x}{4}-\frac{3\pi}{2}\right)=\sin \left(\frac{x}{4}+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \frac{x}{4}$$

Тогда

$$1+\cos \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{4}$$

Используем формулу $$1+\cos \frac{x}{2}=2\cos^2 \frac{x}{4}$$:

$$2\cos^2 \frac{x}{4}-2\cos \frac{x}{4}=0$$

$$2\cos \frac{x}{4}\left(\cos \frac{x}{4}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{x}{4}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{4}=1$$

$$\frac{x}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=2\pi+4\pi n$$

$$\frac{x}{4}=2\pi n \Rightarrow x=8\pi n$$

$$x=2\pi+4\pi n,\; 8\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

4) $$1+\cos 8x=2\cos 4x$$

Используем формулу $$1+\cos 8x=2\cos^2 4x$$:

$$2\cos^2 4x-2\cos 4x=0$$

$$2\cos 4x\left(\cos 4x-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=1$$

$$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

$$4x=2\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; \frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

5) $$2\sin^2 \frac{x}{2}+\frac{1}{2}\sin 2x=1$$

Используем формулы $$2\sin^2 \frac{x}{2}=1-\cos x$$ и $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$1-\cos x+\frac{1}{2}\cdot 2\sin x\cos x=1$$

$$-\cos x+\sin x\cos x=0$$

$$\cos x(\sin x-1)=0$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1$$

Но $$\sin x=1$$ входит в множество решений $$\cos x=0$$, поэтому

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

6) $$2\cos^2 x-\frac{1}{2}\sin 4x=1$$

Используем формулы $$2\cos^2 x=1+\cos 2x$$ и $$\sin 4x=2\sin 2x\cos 2x$$:

$$1+\cos 2x-\frac{1}{2}\cdot 2\sin 2x\cos 2x=1$$

$$\cos 2x-\sin 2x\cos 2x=0$$

$$\cos 2x(1-\sin 2x)=0$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=1$$

Второе уравнение даёт решения, входящие в первое, поэтому

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

Ответ

1) $$x=2\pi n,\; \pi+4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

2) $$x=\pi+2\pi n,\; 4\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

3) $$x=2\pi+4\pi n,\; 8\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

4) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\; \frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$

5) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; n\in \mathbb{Z}$$

6) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}$$