Упр.522 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 522 Упростить выражение tg2a/(tg 4а — tg 2а).

Преобразуем знаменатель, используя формулу разности тангенсов:

$$\tg 4a-\tg 2a=\frac{\tg 4a\cdot \cos 2a-\tg 2a\cdot \cos 4a}{\cos 2a}.$$

Удобнее сразу выразить тангенсы через синус и косинус:

$$\frac{\tg 2a}{\tg 4a-\tg 2a}=\frac{\dfrac{\sin 2a}{\cos 2a}}{\dfrac{\sin 4a}{\cos 4a}-\dfrac{\sin 2a}{\cos 2a}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{\dfrac{\sin 2a}{\cos 2a}}{\dfrac{\sin 4a\cos 2a-\sin 2a\cos 4a}{\cos 4a\cos 2a}}=\frac{\sin 2a\cos 4a}{\sin 4a\cos 2a-\sin 2a\cos 4a}.$$

Используем формулу синуса разности:

$$\sin 4a\cos 2a-\sin 2a\cos 4a=\sin(4a-2a)=\sin 2a.$$

Тогда

$$\frac{\sin 2a\cos 4a}{\sin 2a}=\cos 4a.$$

Ответ: $$\cos 4a$$.