Упр.521 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать, что если $$0

Так как $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то $$0<\frac{a}{2}<\frac{\pi}{4}.$$ Следовательно, $$\sin\frac{a}{2}>0$$ и $$\cos\frac{a}{2}>0,$$ а значит, можно раскрыть корни через формулы:

$$1+\sin a=\sin^2\frac{a}{2}+\cos^2\frac{a}{2}+2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}=\left(\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2}\right)^2,$$

$$1-\sin a=\sin^2\frac{a}{2}+\cos^2\frac{a}{2}-2\sin\frac{a}{2}\cos\frac{a}{2}=\left(\cos\frac{a}{2}-\sin\frac{a}{2}\right)^2.$$

Тогда

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=\left(\sin\frac{a}{2}+\cos\frac{a}{2}\right)-\left(\cos\frac{a}{2}-\sin\frac{a}{2}\right)=2\sin\frac{a}{2}.$$

Тождество доказано.

Ответ

$$\sqrt{1+\sin a}-\sqrt{1-\sin a}=2\sin\frac{a}{2}.$$