Упр.520 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Алимов, Колягин, Ткачёва 10 класс, Просвещение: 520

1. $$\frac{1-\cos 2a}{\sin 2a}\cdot \ctg a$$
   $$=\frac{2\sin^2 a}{2\sin a\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}$$
   $$=1.$$

   Тождество доказано.

2. $$\frac{\sin 2a}{1+\cos 2a}$$
   $$=\frac{2\sin a\cos a}{2\cos^2 a}$$
   $$=\frac{\sin a}{\cos a}$$
   $$=\tg a.$$

   Тождество доказано.

3. $$\frac{1-2\sin^2 a}{1+\sin 2a}$$
   $$=\frac{1-(1-\cos 2a)}{1+\sin 2a}$$
   $$=\frac{\cos 2a}{1+\sin 2a}$$
   $$=\frac{\cos^2 a-\sin^2 a}{(\cos a+\sin a)^2}$$
   $$=\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

   $$\frac{1-\tg a}{1+\tg a} =\frac{1-\frac{\sin a}{\cos a}}{1+\frac{\sin a}{\cos a}} =\frac{\cos a-\sin a}{\cos a+\sin a}.$$

   Следовательно, тождество доказано.

4. $$\frac{1+\sin 2a}{\cos 2a}$$
   $$=\frac{1+2\sin a\cos a}{\cos^2 a-\sin^2 a}$$
   $$=\frac{\sin^2 a+2\sin a\cos a+\cos^2 a}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}$$
   $$=\frac{(\cos a+\sin a)^2}{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}$$
   $$=\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}+a\right) =\frac{1+\tg a}{1-\tg a} =\frac{1+\frac{\sin a}{\cos a}}{1-\frac{\sin a}{\cos a}} =\frac{\cos a+\sin a}{\cos a-\sin a}.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$1$$;
2) $$\tg a$$;
3) тождество верно;
4) тождество верно.