Упр.519 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество (519—520).

519. 1) $$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1+\sin a$$;
     2) $$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1-\sin a$$;
     3) $$\frac{3-4\cos^2 a+\cos^4 a}{3+4\cos^2 a+\cos^4 a}=\operatorname{tg}^4 a$$;
     4) $$\frac{1+\sin^2 a+\cos^2 a}{1+\sin^2 a-\cos^2 a}=\operatorname{ctg}a$$.

1) $$2\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1+\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=1+\sin a.$$

Тождество доказано.

2) $$2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=1-\cos\left(2\cdot\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=1-\sin a.$$

Тождество доказано.

3) $$\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}=\frac{2-4\cos 2a+2\cos^2 2a}{2+4\cos 2a+2\cos^2 2a}=\frac{1-2\cos 2a+\cos^2 2a}{1+2\cos 2a+\cos^2 2a}.$$

Так как $$1-2\cos 2a+\cos^2 2a=(1-\cos 2a)^2,$$ а $$1+2\cos 2a+\cos^2 2a=(1+\cos 2a)^2,$$ то

$$\frac{3-4\cos 2a+\cos 4a}{3+4\cos 2a+\cos 4a}=\left(\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}\right)^2.$$

По формулам $$1-\cos 2a=2\sin^2 a$$ и $$1+\cos 2a=2\cos^2 a$$ получаем

$$\left(\frac{1-\cos 2a}{1+\cos 2a}\right)^2=\left(\frac{2\sin^2 a}{2\cos^2 a}\right)^2=\tan^4 a.$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a}=\frac{(\cos^2 a+\sin^2 a)+2\sin a\cos a+(\cos^2 a-\sin^2 a)}{(\cos^2 a+\sin^2 a)+2\sin a\cos a-(\cos^2 a-\sin^2 a)}.$$

Тогда

$$\frac{1+\sin 2a+\cos 2a}{1+\sin 2a-\cos 2a}=\frac{2\cos^2 a+2\sin a\cos a}{2\sin^2 a+2\sin a\cos a}=\frac{2\cos a(\cos a+\sin a)}{2\sin a(\sin a+\cos a)}=\frac{\cos a}{\sin a}=\ctg a.$$

Тождество доказано.