Упр.517 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислить: 1) $$\sin 15^\circ$$; 2) $$\cos 15^\circ$$; 3) $$\operatorname{tg} 22^\circ 30’$$; 4) $$\operatorname{ctg} 22^\circ 30’$$.

Используем формулы половинного угла:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}, \qquad \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

1. $$\sin^2 15^\circ=\frac{1-\cos 30^\circ}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{2-\sqrt3}{4}.$$

   Так как $$\sin 15^\circ>0,$$ то

   $$\sin 15^\circ=\sqrt{\frac{2-\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}.$$

2. $$\cos^2 15^\circ=\frac{1+\cos 30^\circ}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{2}}{2}=\frac{2+\sqrt3}{4}.$$

   Так как $$\cos 15^\circ>0,$$ то

   $$\cos 15^\circ=\sqrt{\frac{2+\sqrt3}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}.$$

3. $$\tg^2 22^\circ 30’=\frac{1-\cos 45^\circ}{1+\cos 45^\circ}=\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{1+\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}.$$

   Рационализуем знаменатель:

   $$\frac{2-\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{(2-\sqrt2)^2}{4-2}=\frac{6-4\sqrt2}{2}=3-2\sqrt2.$$

   Так как $$\tg 22^\circ 30′>0,$$ то

   $$\tg 22^\circ 30’=\sqrt{3-2\sqrt2}=\sqrt2-1.$$

4. $$\ctg 22^\circ 30’=\frac{1}{\tg 22^\circ 30′}=\frac{1}{\sqrt2-1}=\sqrt2+1.$$

Ответ: $$\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt3}}{2}, \quad \cos 15^\circ=\frac{\sqrt{2+\sqrt3}}{2}, \quad \tg 22^\circ 30’=\sqrt2-1, \quad \ctg 22^\circ 30’=\sqrt2+1.$$