Упр.516 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Пусть $$\sin \alpha=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$$. Вычислить: 1) $$\sin\frac{\alpha}{2}$$; 2) $$\cos\frac{\alpha}{2}$$; 3) $$\tan\frac{\alpha}{2}$$; 4) $$\cot\frac{\alpha}{2}$$.

Так как $$\sin \alpha=\frac{3}{5}$$ и $$\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi,$$ то угол $$\alpha$$ лежит во второй четверти, значит $$\cos \alpha<0.$$

Найдём косинус угла $$\alpha$$:

$$\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin^2\alpha}=-\sqrt{1-\left(\frac{3}{5}\right)^2}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

Теперь используем формулы половинного угла. Так как $$\frac{\pi}{4}<\frac{\alpha}{2}<\frac{\pi}{2},$$ то $$\sin \frac{\alpha}{2}>0$$ и $$\cos \frac{\alpha}{2}>0.$$

1) $$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}=\frac{1-(-\frac{4}{5})}{2}=\frac{1+\frac{4}{5}}{2}=\frac{9}{10},$$

откуда

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}.$$

2) $$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}=\frac{1+(-\frac{4}{5})}{2}=\frac{1-\frac{4}{5}}{2}=\frac{1}{10},$$

откуда

$$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}.$$

3) $$\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}=\frac{1-(-\frac{4}{5})}{1+(-\frac{4}{5})}=\frac{1+\frac{4}{5}}{1-\frac{4}{5}}=\frac{9}{1}=9,$$

значит

$$\tg\frac{\alpha}{2}=3.$$

4) $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}}=\frac{1}{3}.$$

Ответ

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{3\sqrt{10}}{10},\quad \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{10}}{10},\quad \tg\frac{\alpha}{2}=3,\quad \ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{3}.$$