Упр.515 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Пусть $$\cos \alpha = 0{,}6$$ и $$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$. Вычислить: 1) $$\sin \frac{\alpha}{2}$$; 2) $$\cos \frac{\alpha}{2}$$; 3) $$\tan \frac{\alpha}{2}$$; 4) $$\cot \frac{\alpha}{2}$$.

Подробный ответ

Так как $$\cos \alpha = 0{,}6=\frac{3}{5}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{\alpha}{2}$$ тоже острый, значит все искомые значения положительны.

Используем формулы половинного угла:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}, \qquad \tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}.$$

1) $$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}}=\sqrt{\frac{2}{10}}=\sqrt{\frac15}=\frac{\sqrt5}{5}.$$

2) $$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt5}{5}.$$

3) $$\tg\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}}=\sqrt{\frac{1-\frac35}{1+\frac35}}=\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{\frac14}=\frac12.$$

4) $$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}}=2.$$

Ответ: $$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt5}{5},\ \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt5}{5},\ \tg\frac{\alpha}{2}=\frac12,\ \ctg\frac{\alpha}{2}=2.$$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка

4 / 5

Другие учебники