Упр.515 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1)sina/2;
2) cosa/2;
3) tga/2;
4) ctga/2.

Так как $$\cos \alpha = 0{,}6=\frac{3}{5}$$ и $$0<\alpha<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{\alpha}{2}$$ тоже острый, значит все искомые значения положительны.

Используем формулы половинного угла:

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}, \qquad \cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2},$$
$$\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha}, \qquad \ctg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{1-\cos\alpha}.$$

1) Найдём $$\sin \frac{\alpha}{2}:$$

$$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{2}=\frac{\frac{2}{5}}{2}=\frac{1}{5},$$
$$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}.$$

2) Найдём $$\cos \frac{\alpha}{2}:$$

$$\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\frac{3}{5}}{2}=\frac{\frac{8}{5}}{2}=\frac{4}{5},$$
$$\cos\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$$

3) Найдём $$\tg \frac{\alpha}{2}:$$

$$\tg^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\frac{3}{5}}{1+\frac{3}{5}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{8}{5}}=\frac{1}{4},$$
$$\tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}.$$

4) Найдём $$\ctg \frac{\alpha}{2}:$$

$$\ctg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{\tg\frac{\alpha}{2}}=2.$$

Ответ

$$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{\sqrt{5}}{5}, \quad \cos\frac{\alpha}{2}=\frac{2\sqrt{5}}{5}, \quad \tg\frac{\alpha}{2}=\frac{1}{2}, \quad \ctg\frac{\alpha}{2}=2.$$