Упр.512 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)
Решить уравнение:
- $$\sin 2x — 2\cos x = 0$$
- $$\cos 2x + \sin^2 x = 1$$
- $$4\cos x = \sin 2x$$
- $$\sin^2 x = -\cos 2x$$
- $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac{1}{2}=0$$
- $$\cos^2\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}$$
1) $$\sin 2x-2\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$
$$2\cos x(\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0$$
или
$$\sin x=1.$$
Но $$\sin x=1$$ является частным случаем уравнения $$\cos x=0$$, поэтому достаточно решить
$$\cos x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
2) $$\cos 2x+\sin^2 x=1$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=1$$
$$\cos^2 x=1.$$
Следовательно,
$$\cos x=\pm 1,$$
откуда
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
3) $$4\cos x=\sin 2x$$
$$4\cos x-2\sin x\cos x=0$$
$$2\cos x(2-\sin x)=0.$$
Отсюда:
$$\cos x=0$$
или
$$\sin x=2.$$
Уравнение $$\sin x=2$$ решений не имеет, значит
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
4) $$\sin^2 x=-\cos 2x$$
$$\sin^2 x+\cos 2x=0$$
$$\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0$$
$$\cos^2 x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
5) $$\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+\frac12=0$$
Умножим обе части на $$2$$:
$$2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+1=0$$
$$\sin x+1=0$$
$$\sin x=-1.$$
Следовательно,
$$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
6) $$\cos^2\frac{x}{2}=\sin^2\frac{x}{2}$$
$$\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=0$$
$$\cos x=0.$$
Значит,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ:
1) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 2) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 3) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 4) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 5) $$x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; 6) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
