Упр.511 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество.

Преобразуем левую часть:

$$\frac{\sin^2 a}{\cos a(1+\ctg a)}-\frac{\cos^2 a}{\sin a(1+\tg a)} = \frac{\sin^2 a}{\cos a\left(1+\frac{\cos a}{\sin a}\right)} — \frac{\cos^2 a}{\sin a\left(1+\frac{\sin a}{\cos a}\right)}$$

$$= \frac{\sin^3 a}{\cos a(\sin a+\cos a)} — \frac{\cos^3 a}{\sin a(\sin a+\cos a)} = \frac{\sin^4 a-\cos^4 a}{\sin a\cos a(\sin a+\cos a)}$$

$$= \frac{(\sin^2 a-\cos^2 a)(\sin^2 a+\cos^2 a)}{\sin a\cos a(\sin a+\cos a)} = \frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\sin a\cos a(\sin a+\cos a)} = \frac{\sin a-\cos a}{\sin a\cos a}$$

Преобразуем правую часть:

$$\frac{2\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a} = \frac{2\sqrt2\left(\sin a\cos\frac{\pi}{4}-\cos a\sin\frac{\pi}{4}\right)}{\sin 2a}$$

Так как $$\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2},$$ получаем

$$\frac{2\sqrt2\left(\sin a\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\cos a\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)}{\sin 2a} = \frac{2(\sin a-\cos a)}{\sin 2a}$$

А поскольку $$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$ то

$$\frac{2(\sin a-\cos a)}{\sin 2a} = \frac{2(\sin a-\cos a)}{2\sin a\cos a} = \frac{\sin a-\cos a}{\sin a\cos a}$$

Левая и правая части равны одному и тому же выражению, значит, тождество доказано.

Ответ: тождество верно.