Упр.510 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Доказать тождество:

1) $$\frac{\cos 2a}{\sin a\cos a+\sin^2 a}=\frac{(\cos a-\sin a)(\cos a+\sin a)}{\sin a(\cos a+\sin a)}=\frac{\cos a-\sin a}{\sin a}=\frac{\cos a}{\sin a}-1=\ctg a-1.$$

Тождество доказано.

2) $$\frac{\sin 2a-2\cos a}{\sin a-\sin^2 a}=\frac{2\sin a\cos a-2\cos a}{\sin a(1-\sin a)}=\frac{2\cos a(\sin a-1)}{-\sin a(\sin a-1)}=-2\frac{\cos a}{\sin a}=-2\ctg a.$$

Тождество доказано.

3) $$\tg a(1+\cos 2a)=\tg a\bigl((\cos^2 a+\sin^2 a)+(\cos^2 a-\sin^2 a)\bigr)=\tg a\cdot 2\cos^2 a$$

$$= \frac{\sin a}{\cos a}\cdot 2\cos^2 a=2\sin a\cos a=\sin 2a.$$

Тождество доказано.

4) $$\frac{1-\cos 2a+\sin 2a}{1+\cos 2a+\sin 2a}\cdot \ctg a=\frac{(\cos^2 a+\sin^2 a)-(\cos^2 a-\sin^2 a)+2\sin a\cos a}{(\cos^2 a+\sin^2 a)+(\cos^2 a-\sin^2 a)+2\sin a\cos a}\cdot \ctg a$$

$$=\frac{2\sin^2 a+2\sin a\cos a}{2\cos^2 a+2\sin a\cos a}\cdot \ctg a=\frac{2\sin a(\sin a+\cos a)}{2\cos a(\cos a+\sin a)}\cdot \ctg a$$

$$=\frac{\sin a}{\cos a}\cdot \frac{\cos a}{\sin a}=1.$$

Тождество доказано.

5) $$\frac{(1-2\cos^2 a)(2\sin^2 a-1)}{4\sin^2 a\cos^2 a}=\frac{(\sin^2 a-\cos^2 a)(\sin^2 a-\cos^2 a)}{(2\sin a\cos a)^2}$$

$$=\frac{(-\cos 2a)(-\cos 2a)}{\sin^2 2a}=\frac{\cos^2 2a}{\sin^2 2a}=\ctg^2 2a.$$

Тождество доказано.

6) $$1-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)=\cos\left(2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{a}{2}\right)\right)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-a\right)=\sin a.$$

Тождество доказано.

7) $$\frac{\sin a+\sin 2a}{1+\cos a+\cos 2a}=\frac{\sin a+2\sin a\cos a}{1+\cos a+(\cos^2 a-\sin^2 a)}$$

$$=\frac{\sin a(1+2\cos a)}{\cos a(1+2\cos a)}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tg a.$$

Тождество доказано.