Упр.51 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростить: 1) $$\sqrt[3]{(x-2)^3}$$ при а) $$x \ge 2$$; б) $$x < 2$$; 2) $$\sqrt{(3-x)^6}$$ при а) $$x \le 3$$; б) $$x > 2$$; 3) $$\sqrt[4]{(x+6)^4}+\sqrt{(x-3)^2}$$, если $$-1 < x > 2$$; 4) $$\sqrt[6]{(2x+1)^6}-\sqrt[4]{(4+x)^4}$$, если $$-3 < x < -1$$.

1) $$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

При $$x\ge 2$$ и при $$x<2$$ корень нечётной степени сохраняет знак подкоренного выражения, поэтому

$$\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

Ответ: $$x-2$$.

2) $$\sqrt{(3-x)^6}=\sqrt{\bigl((3-x)^3\bigr)^2}=|3-x|^3.$$

а) При $$x\le 3$$ имеем $$|3-x|=3-x$$, значит

$$\sqrt{(3-x)^6}=(3-x)^3.$$

б) При $$x>3$$ имеем $$|3-x|=x-3$$, значит

$$\sqrt{(3-x)^6}=(x-3)^3.$$

Ответ: а) $$\,(3-x)^3$$; б) $$\,(x-3)^3$$.

3) $$\sqrt[4]{(x+6)^4}+\sqrt{(x-3)^2}=|x+6|+|x-3|.$$

Если $$-1<x<2$$, то $$x+6>0$$ и $$x-3<0$$, поэтому

$$|x+6|=x+6,\qquad |x-3|=3-x.$$

Тогда

$$|x+6|+|x-3|=(x+6)+(3-x)=9.$$

Ответ: $$9$$.

4) $$\sqrt[6]{(2x+1)^6}-\sqrt[4]{(4+x)^4}=|2x+1|-|4+x|.$$

Если $$-3<x<-1$$, то $$2x+1<0$$ и $$4+x>0$$, значит

$$|2x+1|=-(2x+1)=-2x-1,\qquad |4+x|=4+x.$$

Тогда

$$|2x+1|-|4+x|=(-2x-1)-(4+x)=-3x-5.$$

Ответ: $$-3x-5$$.