Упр.509 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

Вычислить $$\sin 2a$$, если: 1) $$\sin a+\cos a=\frac{1}{2}$$; 2) $$\sin a-\cos a=-\frac{1}{3}$$.

Используем формулу двойного угла:

$$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.$$

1)

$$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac12.$$

Возведём в квадрат:

$$(\sin\alpha+\cos\alpha)^2=\left(\frac12\right)^2$$

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha=\frac14$$

Так как $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1,$$ получаем:

$$1+\sin 2\alpha=\frac14$$

$$\sin 2\alpha=\frac14-1=-\frac34$$

2)

$$\sin\alpha-\cos\alpha=-\frac13.$$

Возведём в квадрат:

$$(\sin\alpha-\cos\alpha)^2=\left(-\frac13\right)^2$$

$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha=\frac19$$

Тогда:

$$1-\sin 2\alpha=\frac19$$

$$\sin 2\alpha=1-\frac19=\frac89$$

Ответ

1) $$-\frac34$$; 2) $$\frac89$$.