Упр.502 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

2) cos2 75° — sin2 75°;
3) 6 tg 75°/(1-tg2 75°);
4) (tg2 22°30′-1)/ tg2 22°30′.

1. Используем формулу двойного угла:

   $$2\sin 75^\circ \cdot \cos 75^\circ=\sin 150^\circ=\sin 30^\circ=\frac12.$$

2. Применим формулу:

   $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha.$$

   Тогда

   $$\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ=\cos 150^\circ=-\cos 30^\circ=-\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. Используем формулу двойного угла для тангенса:

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

   Тогда

   $$\frac{6\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=3\cdot \frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=3\tg 150^\circ=-3\tg 30^\circ=-3\cdot \frac{\sqrt3}{3}=-\sqrt3.$$

4. Преобразуем выражение, используя формулу двойного угла:

   $$\frac{\tg^2 22^\circ 30′-1}{\tg^2 22^\circ 30′}=-2\cdot \left(\frac{2\tg 22^\circ 30′}{1-\tg^2 22^\circ 30′}\right)^{-1}=-2\cdot (\tg 45^\circ)^{-1}=-2.$$

Ответ

1) $$\frac12$$; 2) $$-\frac{\sqrt3}{2}$$; 3) $$-\sqrt3$$; 4) $$-2$$.