Упр.501 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. Используем формулу двойного угла:

   $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=\sin \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right)=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

2. Используем формулу:

   $$\cos^2 \alpha-\sin^2 \alpha=\cos 2\alpha.$$

   Тогда

   $$\cos^2 \frac{\pi}{8}-\sin^2 \frac{\pi}{8}=\cos \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right)=\cos \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$$

3. Используем формулу двойного угла для тангенса:

   $$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

   Тогда

   $$\frac{2\tg \frac{\pi}{8}}{1-\tg^2 \frac{\pi}{8}}=\tg \left(2\cdot \frac{\pi}{8}\right)=\tg \frac{\pi}{4}=1.$$

4. Преобразуем выражение:

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos \frac{\pi}{8}+\sin \frac{\pi}{8}\right)^2 =\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos^2 \frac{\pi}{8}+\sin^2 \frac{\pi}{8}+2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}\right).$$

   Так как $$\cos^2 \frac{\pi}{8}+\sin^2 \frac{\pi}{8}=1,$$ а

   $$2\sin \frac{\pi}{8}\cos \frac{\pi}{8}=\sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

   то

   $$\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(\cos \frac{\pi}{8}+\sin \frac{\pi}{8}\right)^2 =\frac{\sqrt{2}}{2}-\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-1.$$

Ответ: 1) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$; 3) $$1$$; 4) $$-1$$.