Упр.500 ГДЗ Алимов 10-11 класс (Алгебра)

1. 500. Вычислить, не используя калькулятор:
   1) $$2\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ$$;
   2) $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ$$;
   3) $$\frac{2\tg 15^\circ}{1-\tg^2 15^\circ}$$;
   4) $$(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ)^2$$.

1. Используем формулу двойного угла:

   $$2\sin 15^\circ \cdot \cos 15^\circ=\sin(2\cdot 15^\circ)=\sin 30^\circ=\frac12.$$

2. По формуле двойного угла для косинуса:

   $$\cos^2 15^\circ-\sin^2 15^\circ=\cos(2\cdot 15^\circ)=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}.$$

3. Используем формулу двойного угла для тангенса:

   $$\frac{2\tg 15^\circ}{1-\tg^2 15^\circ}=\tg(2\cdot 15^\circ)=\tg 30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}.$$

4. Раскроем квадрат разности:

   $$(\cos 75^\circ-\sin 75^\circ)^2=\cos^2 75^\circ+\sin^2 75^\circ-2\cos 75^\circ\sin 75^\circ$$

   $$=1-\sin 150^\circ=1-\sin 30^\circ=1-\frac12=\frac12.$$

Ответ: 1) $$\frac12$$; 2) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; 3) $$\frac{1}{\sqrt3}$$; 4) $$\frac12$$.